Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a equação
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for elipse, determinar seus elementos principais.
Dados fornecidos:
- A equação geral da cônica é
. - Não há termo misto
(coeficiente de é zero). - Precisa-se classificar (elipse normal ou degenerada) e, se for elipse, achar centro, semi-eixos e orientação.
Passo 2
Observação sobre método: como não há termo misto
, os eixos principais da cônica são paralelos aos eixos coordenados. A maneira direta e segura é completar quadrados em
e
para levar a equação à forma canônica. Vou explicar como completar quadrados com calma.
Lembrete didático (completar quadrado):
- Para uma expressão quadrática em
da forma , pode-se escrever - O mesmo vale para
. Vou aplicar isso termo a termo, explicando cada número.
Passo 3
Agrupo termos em
e em
e fatoro os coeficientes quadráticos para facilitar a completude do quadrado:
Agora completo o quadrado em cada parêntese.
Para
:
Multiplicando por
:
Para
:
Multiplicando por
:
Substituo essas expressões de volta na equação original:
Agora somo as constantes:
. Portanto os termos constantes desaparecem e resta
Passo 4
Interpretação da forma obtida:
- As expressões
e são sempre não negativas. - Os coeficientes
e são positivos. - A soma de dois termos não negativos, multiplicados por positivos, é igual a
somente se cada termo for zero individualmente.
Logo
ou seja
Isso significa que a cônica reduz-se a um único ponto no plano:
.
Passo 5
Conclusões e explicações finais (didáticas):
- Uma elipse não degenerada tem forma canônica
com , . Aqui, depois da translação, a soma das parcelas aparece igual a , não a . Isso indica que os semieixos e seriam nulos. Em outras palavras, a “elipse” colapsou a um ponto — chamamos isso de elipse degenerada (caso especial da elipse). - Centro da elipse degenerada:
. - Orientação: eixos paralelos aos eixos coordenados (porque não houve termo
). - Semi-eixos efetivos:
e (porque não há extensão, somente o ponto).
Um comentário adicional (para fixar a ideia): se a constante final tivesse sido positiva, por exemplo
então dividir por
daria a forma de uma elipse padrão com
e
. Aqui
, então os semi-eixos valem zero.
Resposta
Elipse degenerada (ponto) com centro em
; semieixos
e
.