Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
(c) 36 x^{2}+9 y^{2}-108 x+6 y+82=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a equação
36 x^{2}+9 y^{2}-108 x+6 y+82=0
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for elipse, determinar seus elementos principais.
Dados fornecidos:
  • A equação geral da cônica é \,36 x^{2}+9 y^{2}-108 x+6 y+82=0.
  • Não há termo misto xy (coeficiente de xy é zero).
  • Precisa-se classificar (elipse normal ou degenerada) e, se for elipse, achar centro, semi-eixos e orientação.

Passo 2

Observação sobre método: como não há termo misto (xy), os eixos principais da cônica são paralelos aos eixos coordenados. A maneira direta e segura é completar quadrados em x e y para levar a equação à forma canônica. Vou explicar como completar quadrados com calma.
Lembrete didático (completar quadrado):
  • Para uma expressão quadrática em x da forma \,ax^2+bx, pode-se escrever ax^2+bx = a\Bigl(x^2+\frac{b}{a}x\Bigr) = a\Bigl( (x+\tfrac{b}{2a})^2 - (\tfrac{b}{2a})^2\Bigr).
  • O mesmo vale para y. Vou aplicar isso termo a termo, explicando cada número.

Passo 3

Agrupo termos em x e em y e fatoro os coeficientes quadráticos para facilitar a completude do quadrado:
36 x^{2}-108 x + 9 y^{2}+6 y +82=0
36\bigl(x^{2}-3x\bigr)+9\bigl(y^{2}+\tfrac{2}{3}y\bigr)+82=0.
Agora completo o quadrado em cada parêntese.
Para x:
x^{2}-3x = \bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} = \bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{9}{4}.
Multiplicando por 36:
36\bigl(x^{2}-3x\bigr) = 36\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - 36\cdot\tfrac{9}{4} = 36\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - 81.
Para y:
y^{2}+\tfrac{2}{3}y = \bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} = \bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{9}.
Multiplicando por 9:
9\bigl(y^{2}+\tfrac{2}{3}y\bigr) = 9\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} - 9\cdot\tfrac{1}{9} = 9\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} - 1.
Substituo essas expressões de volta na equação original:
\bigl[36\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - 81\bigr] + \bigl[9\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} - 1\bigr] + 82 = 0.
Agora somo as constantes: -81 -1 +82 = 0. Portanto os termos constantes desaparecem e resta
36\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + 9\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} = 0.

Passo 4

Interpretação da forma obtida:
  • As expressões \bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} e \bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} são sempre não negativas.
  • Os coeficientes 36 e 9 são positivos.
  • A soma de dois termos não negativos, multiplicados por positivos, é igual a 0 somente se cada termo for zero individualmente.
Logo
\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=0\quad\text{e}\quad\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=0,
ou seja
x=\tfrac{3}{2},\qquad y=-\tfrac{1}{3}.
Isso significa que a cônica reduz-se a um único ponto no plano: \bigl(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 5

Conclusões e explicações finais (didáticas):
  • Uma elipse não degenerada tem forma canônica \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,com a>0, b>0. Aqui, depois da translação, a soma das parcelas aparece igual a 0, não a 1. Isso indica que os semieixos \,a e \,b seriam nulos. Em outras palavras, a “elipse” colapsou a um ponto — chamamos isso de elipse degenerada (caso especial da elipse).
  • Centro da elipse degenerada: \bigl(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{3}\bigr).
  • Orientação: eixos paralelos aos eixos coordenados (porque não houve termo xy).
  • Semi-eixos efetivos: a=0 e b=0 (porque não há extensão, somente o ponto).
Um comentário adicional (para fixar a ideia): se a constante final tivesse sido positiva, por exemplo
36\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + 9\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} = C>0,
então dividir por C daria a forma de uma elipse padrão com a^{2}=C/36 e b^{2}=C/9. Aqui C=0, então os semi-eixos valem zero.

Resposta

Elipse degenerada (ponto) com centro em \left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{3}\right); semieixos a=0 e b=0.

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