Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema
\begin{cases} 3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1,\\\\ 2x_{1}+x_{2}=1,\\\\ 2x_{1}-4x_{2}-2x_{3}=-4. \end{cases}
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

A matriz aumentada inicial é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & \vline & -1\\\\ 2 & 1 & 0 & \vline & 1\\\\ 2 & -4 & -2 & \vline & -4 \end{pmatrix}.
Para zerar o coeficiente de x_{1} nas linhas 2 e 3, fazemos
R_{2} \leftarrow R_{2} - \tfrac{2}{3}R_{1},\qquad R_{3} \leftarrow R_{3} - \tfrac{2}{3}R_{1}.

Passo 3

Após essas operações obtemos
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & \vline & -1\\\\ 0 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{4}{3} & \vline & \tfrac{5}{3}\\\\ 0 & -\tfrac{10}{3} & -\tfrac{10}{3} & \vline & -\tfrac{10}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora usamos a segunda linha como pivô para zerar o termo de x_{2} na linha 3. O fator é
\frac{-\tfrac{10}{3}}{\tfrac{5}{3}} = -2,
então
R_{3} \leftarrow R_{3} - (-2)R_{2} = R_{3} + 2R_{2}.

Passo 5

A matriz torna-se
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & \vline & -1\\\\ 0 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{4}{3} & \vline & \tfrac{5}{3}\\\\ 0 & 0 & -6 & \vline & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Da terceira linha temos
-6\,x_{3} = 0
logo
x_{3} = 0.

Passo 7

Na segunda linha
\tfrac{5}{3}\,x_{2} - \tfrac{4}{3}\,x_{3} = \tfrac{5}{3}.
Substituindo x_{3}=0 \tfrac{5}{3}x_{2}=\tfrac{5}{3}, portanto
x_{2} = 1.

Passo 8

Na primeira linha
3\,x_{1} - x_{2} + 2\,x_{3} = -1.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=0 obtemos
3\,x_{1}-1 = -1\quad\Longrightarrow\quad 3\,x_{1}=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=0.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,1,0).

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