Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=1 \\\\ 2 x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema linear
\begin{cases} x_1 - 2 x_2 - 2 x_3 = 2,\\\\ 2 x_1 + x_2 - 3 x_3 = 1,\\\\ 2 x_2 + x_3 = -2. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss, ou seja, vamos transformar o sistema numa forma triangular superior para depois resolver por substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\\\ 2 & 1 & -3 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos o coeficiente de x_1 na segunda linha usando
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1.
Calculando
(2,\,1,\,-3,\,1) - 2\,(1,\,-2,\,-2,\,2) = (0,\,5,\,1,\,-3),
a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\\\ 0 & 5 & 1 & -3\\\\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos o coeficiente de x_2 na terceira linha usando
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{5}R_2.
Calculando
(0,\,2,\,1,\,-2) - \tfrac{2}{5}(0,\,5,\,1,\,-3) = \bigl(0,\,0,\,\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5}\bigr),
obtemos a forma triangular superior
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\\\ 0 & 5 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{array}\right].

Passo 5

Agora resolvemos por substituição. Da terceira equação triangular:
\tfrac{3}{5}\,x_3 = -\tfrac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad x_3 = \frac{-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}} = -\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Substituindo x_3 = -\tfrac{4}{3} na segunda equação 5x_2 + x_3 = -3:
5x_2 - \tfrac{4}{3} = -3 \quad\Longrightarrow\quad 5x_2 = -3 + \tfrac{4}{3} = -\tfrac{5}{3} \quad\Longrightarrow\quad x_2 = -\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Substituindo x_2 = -\tfrac{1}{3} e x_3 = -\tfrac{4}{3} na primeira equação \,x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 2:
x_1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{8}{3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 + \tfrac{10}{3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2 - \tfrac{10}{3} = -\tfrac{4}{3}.

Resposta

x_1 = -\tfrac{4}{3},\quad x_2 = -\tfrac{1}{3},\quad x_3 = -\tfrac{4}{3}.

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