Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=-1 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=3 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}-x_{4}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1,\\\\ 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}+x_{4}=3,\\\\ 2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}-x_{4}=2 \end{cases}
usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada, identificar variáveis livres e escrever a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & -1\\\\ 3 & 6 & 3 & 1 & 3\\\\ 2 & 4 & -3 & -1 & 2 \end{array}\right]
Agora, zeramos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-3\,R_{1}
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2\,R_{1}
Isso gera
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6\\\\ 0 & 0 & -5 & -1 & 4 \end{array}\right]

Passo 3

Da segunda linha temos
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=6,
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x_{4}=6.

Passo 4

Da terceira linha temos
-5\,x_{3}-x_{4}=4.
Substituindo x_{4}=6:
-5\,x_{3}-6=4 \quad\Longrightarrow\quad -5\,x_{3}=10 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-2.

Passo 5

Da primeira linha voltamos a
x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1.
Substituindo x_{3}=-2:
x_{1}+2x_{2}-2=-1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+2x_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1-2x_{2}.

Passo 6

Repare que x_{2} não apareceu como pivô em nenhuma linha escalonada, então x_{2} é livre. Definimos
x_{2}=t,\quad t\in\mathbb{R},
e obtemos a solução geral.

Resposta

x_{1}=1-2t,\quad x_{2}=t,\quad x_{3}=-2,\quad x_{4}=6, \quad t\in\mathbb{R}.

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