Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =1 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}-3 x_{3} & =1 \\\\ -2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}+x_{2}-3x_{3}=1,\\\\ -2x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \end{cases}
usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar antes de resolver por substituição.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema em forma de bloco, temos
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -3 & 1\\\\ -2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right].
O pivô inicial é a_{11}=2. Vamos zerar as entradas abaixo dele.

Passo 3

Para eliminar a_{21}=3 e a_{31}=-2, fazemos
R_{2}\;\to\;R_{2}-\tfrac{3}{2}R_{1}, \quad R_{3}\;\to\;R_{3}+R_{1}.
Após essas operações, a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -2 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Para facilitar, trocamos R_{2} com R_{3}, pois o novo pivô a_{22}=1 simplifica os cálculos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac12 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos a_{32}=-2 com
R_{3}\;\to\;R_{3}+2\,R_{2}.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} \end{array}\right].
Agora o sistema está triangular.

Passo 6

Aplicamos substituição regressiva:
3ª equação:
-\tfrac{3}{2}x_{3}=\tfrac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{\tfrac{3}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=-1.
2ª equação:
x_{2}+0\cdot x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=1.
1ª equação:
2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}+2\cdot1-(-1)=1 \;\Longrightarrow\; 2x_{1}+3=1 \;\Longrightarrow\; x_{1}=-1.

Resposta

x_{1}=-1, x_{2}=1, x_{3}=-1.

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