Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e três equações:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0,\\\\ 2x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada, identificar variáveis pivô e livres e escrever a solução geral em forma paramétrica.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos abaixo de x_{1}:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 6 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 4 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].
Fazendo
\text{linha}_2\leftarrow\text{linha}_2-3\cdot\text{linha}_1, \quad \text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-2\cdot\text{linha}_1,
obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos a linha 2 para zerar a linha 3:
\text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-\text{linha}_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Na forma escalonada temos dois pivôs: coluna de x_{1}\) (linha 1) e coluna de \(x_{4}\) (linha 2). As equações correspondentes são \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\ x_{4}=0. \end{cases}
Logo x_{4}=0\] sempre, e \(x_{1}=-2x_{2}-x_{3}. As variáveis x_{2} e x_{3} são livres; definimos parâmetros s=x_{2} e t=x_{3}.

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial:
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(-2s - t,\;s,\;t,\;0) =s\,(-2,1,0,0)+t\,(-1,0,1,0), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(-2s - t,\;s,\;t,\;0), \quad s,t\in\mathbb{R}.

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