Resolva os sistemas a seguir: \left\{
\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3\end{aligned}
\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com duas equações e três incógnitas e pede para resolver (encontrar todos os triplos (x,y,z)\) que satisfaçam ambas):
\[\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3. \end{cases}
Informações relevantes:
Existem duas equações e três incógnitas ((x,y,z]).
Como há menos equações que incógnitas é esperado que o sistema tenha infinitas soluções (uma família de soluções) — haverá uma variável livre que podemos parametrizar.
O objetivo é escrever todas as soluções em forma paramétrica.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar substituição. Isso significa isolar uma variável em uma equação simples e substituir na outra para reduzir o número de incógnitas. Depois expressamos as incógnitas em função de um parâmetro livre. Vou isolar x na primeira equação porque ela já aparece de forma simples.
Passo 3
Isolar x na primeira equação. A primeira equação é
x+y+z=4.
Subtraindo y+z dos dois lados obtemos
x=4-y-z.
Aqui ficou claro o que x vale em função de y e z.
Passo 4
Substituir a expressão de x na segunda equação. A segunda é
2x+5y-2z=3.
Substituindo x=4-y-z dá
2(4-y-z)+5y-2z=3.
Agora vamos desenvolver passo a passo:
2(4-y-z)=8-2y-2z,
logo a equação fica
8-2y-2z+5y-2z=3.
Passo 5
Juntar termos semelhantes e simplificar. Agrupando y-s e z-s:
8 + (-2y+5y) + (-2z-2z) = 3,
ou seja
8 + 3y -4z = 3.
Subtraindo 8 dos dois lados:
3y -4z = -5.
Passo 6
Resolver para y em função de z. Dividindo ambos os lados por 3:
y=\dfrac{4z-5}{3}.
Explicação: isolou-se y porque agora temos uma relação linear entre y e z. Como o sistema tem menos equações que incógnitas, escolhemos z como parâmetro livre.
Passo 7
Introduzir um parâmetro para a variável livre. Seja t\in\mathbb{R} e definimos
z=t.
Então
y=\dfrac{4t-5}{3}.
Agora voltamos à expressão de x dada em \#Passo 3: x=4-y-z. Substituindo y e z: