Resolva os sistemas a seguir:
\left\{ \begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3\end{aligned} \right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com duas equações e três incógnitas e pede para resolver (encontrar todos os triplos (x,y,z)\) que satisfaçam ambas): \[\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3. \end{cases}
Informações relevantes:
  • Existem duas equações e três incógnitas ((x,y,z]).
  • Como há menos equações que incógnitas é esperado que o sistema tenha infinitas soluções (uma família de soluções) — haverá uma variável livre que podemos parametrizar.
  • O objetivo é escrever todas as soluções em forma paramétrica.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar substituição. Isso significa isolar uma variável em uma equação simples e substituir na outra para reduzir o número de incógnitas. Depois expressamos as incógnitas em função de um parâmetro livre. Vou isolar x na primeira equação porque ela já aparece de forma simples.

Passo 3

Isolar x na primeira equação. A primeira equação é
x+y+z=4.
Subtraindo y+z dos dois lados obtemos
x=4-y-z.
Aqui ficou claro o que x vale em função de y e z.

Passo 4

Substituir a expressão de x na segunda equação. A segunda é
2x+5y-2z=3.
Substituindo x=4-y-z
2(4-y-z)+5y-2z=3.
Agora vamos desenvolver passo a passo:
2(4-y-z)=8-2y-2z,
logo a equação fica
8-2y-2z+5y-2z=3.

Passo 5

Juntar termos semelhantes e simplificar. Agrupando y-s e z-s:
8 + (-2y+5y) + (-2z-2z) = 3,
ou seja
8 + 3y -4z = 3.
Subtraindo 8 dos dois lados:
3y -4z = -5.

Passo 6

Resolver para y em função de z. Dividindo ambos os lados por 3:
y=\dfrac{4z-5}{3}.
Explicação: isolou-se y porque agora temos uma relação linear entre y e z. Como o sistema tem menos equações que incógnitas, escolhemos z como parâmetro livre.

Passo 7

Introduzir um parâmetro para a variável livre. Seja t\in\mathbb{R} e definimos
z=t.
Então
y=\dfrac{4t-5}{3}.
Agora voltamos à expressão de x dada em \#Passo 3: x=4-y-z. Substituindo y e z:
x=4-\dfrac{4t-5}{3}-t.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 3:
x=\dfrac{12-(4t-5)-3t}{3}=\dfrac{12-4t+5-3t}{3}=\dfrac{17-7t}{3}.

Passo 8

Escrever a família completa de soluções e verificar rapidamente. A solução geral, parametrizada por t\in\mathbb{R}, é
(x,y,z)=\left(\dfrac{17-7t}{3},\,\dfrac{4t-5}{3},\,t\right),\quad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (cheque algébrico): somando as componentes
x+y+z=\dfrac{17-7t}{3}+\dfrac{4t-5}{3}+t=\dfrac{17-7t+4t-5+3t}{3}=\dfrac{12}{3}=4,
e
2x+5y-2z=2\cdot\dfrac{17-7t}{3}+5\cdot\dfrac{4t-5}{3}-2t=\dfrac{34-14t+20t-25}{3}-2t=\dfrac{9+6t}{3}-2t=3,
logo ambas equações são satisfeitas para todo t.

Resposta

(x,y,z)=\left(\dfrac{17-7t}{3},\dfrac{4t-5}{3},t\right),\\ t\in\mathbb{R}

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