Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
13. y^{\prime}+y \tan (x)=\operatorname{sec} (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y'+y\tan(x)=\operatorname{sec}(x).
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A equação está na forma y'+p(x)y=q(x).
  • Aqui p(x)=\tan(x) e q(x)=\operatorname{sec}(x).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) usando o fator integrante.

Passo 2

Relembrando a ideia do fator integrante (passo-a-passo e didático):
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma \,y'+p(x)y=q(x)\,, define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu p y = \mu q.
  • Observe que, pela regra do produto, a derivada de \mu y é
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y.
  • Se escolhemos \mu tal que \mu'=\mu p (isto é exatamente o que garante \mu=e^{\int p}), então
(\mu y)'=\mu(y'+p y),
logo a equação multiplicada vira
(\mu y)'=\mu q,
que é fácil de integrar. Isso é a razão do fator integrante.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso p(x)=\tan(x):
  • Primeiro calcule a primitiva de p:
\int \tan(x)\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
  • Fazendo a substituição u=\cos x, du=-\sin x\,dx, obtemos
\int \tan(x)\,dx=-\ln|\cos x| + C.
  • Logo, tomando a expressão padrão para \mu (podemos desprezar a constante aditiva porque entra como multiplicador constante),
\mu(x)=e^{\int \tan x\,dx}=e^{-\ln|\cos x|}=\frac{1}{|\cos x|}.
  • Em intervalos onde \cos x não muda de sinal podemos escolher \mu(x)=\operatorname{sec} x (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante final). Assim usamos
\mu(x)=\operatorname{sec} x.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\tan x\,y = \operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec} x=\operatorname{sec}^2 x.
Pelo que vimos no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de \operatorname{sec} x\cdot y, porque (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x. Portanto
(\operatorname{sec} x\;y)'=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int (\operatorname{sec} x\;y)'\,dx = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx.
A integral do lado esquerdo dá \operatorname{sec} x\;y. A integral do lado direito é conhecida:
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx=\tan x + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos
\operatorname{sec} x\;y=\tan x + C.

Passo 6

Isolar y e simplificar:
y = (\tan x + C)\cos x.
Distribuindo \cos x:
y=\tan x\cos x + C\cos x = \sin x + C\cos x,
pois \tan x\cos x=\sin x. Portanto a solução geral é
y(x)=\sin x + C\cos x,
onde C é uma constante real arbitrária. (Lembrete: tudo válido em intervalos onde \cos x\neq0.)

Resposta

y(x)=\sin x + C\cos x

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