Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
13.
13.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
As informações relevantes que o enunciado dá são:
- A equação está na forma
. - Aqui
e .
O objetivo é encontrar a solução geralusando o fator integrante.
Passo 2
Relembrando a ideia do fator integrante (passo-a-passo e didático):
- Para uma equação linear de primeira ordem na forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- Observe que, pela regra do produto, a derivada de
é
- Se escolhemos
tal que (isto é exatamente o que garante ), então
logo a equação multiplicada vira
que é fácil de integrar. Isso é a razão do fator integrante.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso
:
- Primeiro calcule a primitiva de
:
- Fazendo a substituição
, , obtemos
- Logo, tomando a expressão padrão para
(podemos desprezar a constante aditiva porque entra como multiplicador constante),
- Em intervalos onde
não muda de sinal podemos escolher (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante final). Assim usamos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
Pelo que vimos no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de
, porque
. Portanto
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito é conhecida:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos
Passo 6
Isolar
e simplificar:
Distribuindo
:
pois
. Portanto a solução geral é
onde
é uma constante real arbitrária. (Lembrete: tudo válido em intervalos onde
.)