- A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.000 e em 1980 de 75.000 , qual a população eserada em 2010?
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isto:
- População em 1950:
habitantes. - População em 1980:
habitantes. - Pergunta: qual a população esperada em 2010?
Passo 2
Interpretar a frase “a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de habitantes” em linguagem matemática.
- Seja
a população no ano (número de habitantes). - “Taxa de crescimento” é a derivada
, ou seja, a variação da população por unidade de tempo (aqui: por ano). - “Proporcional ao número de habitantes” significa que existe uma constante
tal que
Expliquei:
é a constante de proporcionalidade (taxa relativa de crescimento anual). Se
a população cresce; se
decresce.
Passo 3
Resolver a equação diferencial
por separação de variáveis.
- Escreve-se
- Integra-se ambos os lados (integração indefinida):
- As integrais dão
onde
é constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral
onde
é uma constante positiva que será determinada pelas condições iniciais.
Passo 4
Escolher uma referência temporal simples e aplicar a condição inicial de 1950.
- Para simplificar, medir o tempo em anos a partir de 1950: definir
em 1950. Assim: - ano 1950 corresponde a
, - ano 1980 corresponde a
, - ano 2010 corresponde a
.
- ano 1950 corresponde a
- Usando
na solução , obtemos
logo
Passo 5
Determinar a constante
usando o dado de 1980.
- Sabemos que
. Substituindo:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Simplificando a fração:
- Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
Observação didática:
é o logaritmo natural; a propriedade usada é
.
Passo 6
Calcular a população em 2010, ou seja
.
- Usar a expressão geral
com :
- Usar que
e que já sabemos . Portanto
- Calcular
, então
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo.
- Encontramos que, sob o modelo de crescimento proporcional contínuo consistente com os dados de 1950 e 1980, a população em 2010 seria
habitantes. - Lembre-se: esse é um modelo idealizado (assume taxa constante no tempo). Mas para a prova, seguir esse procedimento e justificar cada passo (modelo, separação de variáveis, uso das condições iniciais) é o que o examinador espera — você mandou bem por pedir a solução passo a passo!