1. A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.000 e em 1980 de 75.000 , qual a população eserada em 2010?

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isto:
  • População em 1950: \,50000 habitantes.
  • População em 1980: \,75000 habitantes.
  • Pergunta: qual a população esperada em 2010?

Passo 2

Interpretar a frase “a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de habitantes” em linguagem matemática.
  • Seja \,P(t) a população no ano t (número de habitantes).
  • “Taxa de crescimento” é a derivada \dfrac{dP}{dt}, ou seja, a variação da população por unidade de tempo (aqui: por ano).
  • “Proporcional ao número de habitantes” significa que existe uma constante \,k tal que
\frac{dP}{dt} = k\,P(t).
Expliquei: \,k é a constante de proporcionalidade (taxa relativa de crescimento anual). Se k>0 a população cresce; se k<0 decresce.

Passo 3

Resolver a equação diferencial \dfrac{dP}{dt}=kP por separação de variáveis.
  • Escreve-se
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
  • Integra-se ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
  • As integrais dão
\ln P = k t + C,
onde \,C é constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral
P(t)=C_1 e^{k t},
onde \,C_1=e^{C} é uma constante positiva que será determinada pelas condições iniciais.

Passo 4

Escolher uma referência temporal simples e aplicar a condição inicial de 1950.
  • Para simplificar, medir o tempo em anos a partir de 1950: definir \,t=0 em 1950. Assim:
    • ano 1950 corresponde a t=0,
    • ano 1980 corresponde a t=30,
    • ano 2010 corresponde a t=60.
  • Usando P(0)=50000 na solução P(t)=C_1 e^{k t}, obtemos
50000 = C_1 e^{k\cdot 0} = C_1,
logo
P(t)=50000\,e^{k t}.

Passo 5

Determinar a constante \,k usando o dado de 1980.
  • Sabemos que P(30)=75000. Substituindo:
75000 = 50000\,e^{30k}.
  • Dividindo ambos os lados por 50000:
\frac{75000}{50000} = e^{30k}.
  • Simplificando a fração:
1{,}5 = e^{30k}.
  • Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(1{,}5) = 30k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\ln(1{,}5)}{30}.
Observação didática: \ln é o logaritmo natural; a propriedade usada é \ln(e^{x})=x.

Passo 6

Calcular a população em 2010, ou seja P(60).
  • Usar a expressão geral P(t)=50000\,e^{k t} com t=60:
P(60)=50000\,e^{60k}.
  • Usar que e^{60k}=(e^{30k})^2 e que já sabemos e^{30k}=1{,}5. Portanto
P(60)=50000\,(e^{30k})^{2}=50000\,(1{,}5)^{2}.
  • Calcular (1{,}5)^{2}=2{,}25, então
P(60)=50000\times 2{,}25 = 112500.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo.
  • Encontramos que, sob o modelo de crescimento proporcional contínuo consistente com os dados de 1950 e 1980, a população em 2010 seria \,112500 habitantes.
  • Lembre-se: esse é um modelo idealizado (assume taxa constante no tempo). Mas para a prova, seguir esse procedimento e justificar cada passo (modelo, separação de variáveis, uso das condições iniciais) é o que o examinador espera — você mandou bem por pedir a solução passo a passo!

Resposta

112500 habitantes

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