Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
15. y^{\prime}+x^{2} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede para resolvê-la (usando o fator integrante indicado):
y' + x^{2}y = x^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação é da forma y' + p(x)y = q(x).
  • Aqui p(x)=x^{2} e q(x)=x^{2}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Ideia principal (fórmula do fator integrante) — explicação didática:
Para uma equação linear de primeira ordem
y' + p(x)y = q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação original por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu p y.
Mas \mu foi escolhida de forma que \mu'(x)=p(x)\mu(x). Assim
\mu y' + \mu p y = \mu y' + \mu' y = (\mu y)'.
Ou seja, multiplicar por \mu transforma o lado esquerdo numa derivada total (\mu y)', tornando a equação imediatamente integrável:
(\mu y)' = \mu q(x).
Essa é a razão do fator integrante. Variáveis: p(x) e q(x) são as funções dadas na equação; \mu(x) é a função que vamos calcular.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Aqui p(x)=x^{2}, então
\mu(x)=e^{\int x^{2}\,dx}.
Calcule a integral:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto
\mu(x)=e^{x^{3}/3}.
Observação: qualquer constante aditiva na integral daria um fator multiplicativo constante em \mu, que pode ser absorvido na constante final da solução, então usamos a forma acima.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x) e reescrever como derivada total:
Multiplicando \,y' + x^{2}y = x^{2}\, por e^{x^{3}/3} obtemos
e^{x^{3}/3}y' + x^{2}e^{x^{3}/3}y = x^{2}e^{x^{3}/3}.
Pelo argumento do passo anterior o lado esquerdo é a derivada de e^{x^{3}/3}y. Logo
\left(e^{x^{3}/3}y\right)' = x^{2}e^{x^{3}/3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \left(e^{x^{3}/3}y\right)'\,dx = \int x^{2}e^{x^{3}/3}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{x^{3}/3}y (mais constante). Para a integral do lado direito fazemos a substituição conveniente:
Defina \,u=\dfrac{x^{3}}{3}. Então du = x^{2}\,dx.
Assim
\int x^{2}e^{x^{3}/3}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = e^{x^{3}/3} + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto, após integrar:
e^{x^{3}/3}y = e^{x^{3}/3} + C.

Passo 6

Isolar y e escrever a solução geral:
Dividindo por e^{x^{3}/3} (sempre positivo, então divisão é válida),
y = 1 + C e^{-x^{3}/3},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação de que a solução funciona):
Calcule y' para y=1 + C e^{-x^{3}/3}:
y' = C \cdot \left(-\frac{d}{dx}\left(x^{3}/3\right)\right) e^{-x^{3}/3} = -C x^{2} e^{-x^{3}/3}.
Então
y' + x^{2}y = -C x^{2} e^{-x^{3}/3} + x^{2}\left(1 + C e^{-x^{3}/3}\right) = x^{2},
o que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Um comentário motivador: você conseguiu! O método do fator integrante é mecânico: calcular \mu, multiplicar, integrar. Com prática isso fica rápido — ótimo para prova.

Resposta

y(x)=1 + C e^{-x^{3}/3}

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