Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
15.
15.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede para resolvê-la (usando o fator integrante indicado):
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação é da forma
. - Aqui
e . - Objetivo: encontrar a solução geral
.
Passo 2
Ideia principal (fórmula do fator integrante) — explicação didática:
Para uma equação linear de primeira ordem
Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação original por
obtemos
Mas
foi escolhida de forma que
. Assim
Ou seja, multiplicar por
transforma o lado esquerdo numa derivada total
, tornando a equação imediatamente integrável:
Essa é a razão do fator integrante. Variáveis:
e
são as funções dadas na equação;
é a função que vamos calcular.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Aqui , então
Aqui
Calcule a integral:
Portanto
Observação: qualquer constante aditiva na integral daria um fator multiplicativo constante em
, que pode ser absorvido na constante final da solução, então usamos a forma acima.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e reescrever como derivada total:
Multiplicando por
obtemos
Multiplicando
Pelo argumento do passo anterior o lado esquerdo é a derivada de
. Logo
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
(mais constante). Para a integral do lado direito fazemos a substituição conveniente:
Defina . Então
.
Assim
Defina
Assim
onde
é a constante de integração.
Portanto, após integrar:
Passo 6
Isolar
e escrever a solução geral:
Dividindo por (sempre positivo, então divisão é válida),
Dividindo por
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação de que a solução funciona):
Calcule para
:
Calcule
Então
o que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Um comentário motivador: você conseguiu! O método do fator integrante é mecânico: calcular
, multiplicar, integrar. Com prática isso fica rápido — ótimo para prova.