Resolva usando frações parciais:
\int \frac{1}{(x-3)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{(x-3)(x+2)}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é decompor a função racional em parcelas simples e depois integrar cada termo, resultando em funções logarítmicas.

Passo 2

Começamos supondo a decomposição
\frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}.
Aqui, A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+2), obtemos
1 = A(x+2) + B(x-3).
Para achar A e B, podemos usar valores convenientes de x:
  • Se x=3, então 1 = A(5), logo A = \tfrac{1}{5}.
  • Se x=-2, então 1 = B(-5), logo B = -\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{1}{(x-3)(x+2)}\,dx = \int \Bigl(\tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x-3} - \tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x+2}\Bigr) dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln\lvert x-3\rvert,\quad \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln\lvert x+2\rvert.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos
\frac{1}{5}\ln\lvert x-3\rvert - \frac{1}{5}\ln\lvert x+2\rvert + C.
Para simplificar, podemos usar a propriedade dos logaritmos:
\frac{1}{5}\ln\left\lvert\frac{x-3}{x+2}\right\rvert + C.

Resposta

\int \frac{1}{(x-3)(x+2)}\,dx = \frac{1}{5}\ln\lvert x-3\rvert - \frac{1}{5}\ln\lvert x+2\rvert + C
ou equivalentemente
\frac{1}{5}\ln\left\lvert\frac{x-3}{x+2}\right\rvert + C.

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