Resolva usando frações parciais:
\int \frac{x^{2}-2 x-2}{x^{3}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a função racional em somatório de termos mais simples cujas primitivas conhecemos (logaritmos e arctan, se aparecesse quadrática irreduzível, mas neste caso só logaritmo).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador
x^3 - 1 = (x-1)\,(x^2 + x + 1).
Logo podemos escrever
\frac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1} =\frac{x^{2}-2x-2}{(x-1)(x^2+x+1)} =\frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2+x+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+x+1) e comparando coeficientes em x, obtemos
x^2 - 2x - 2 = A\,(x^2 + x + 1) + (Bx + C)\,(x - 1).
Expandindo o lado direito:
A x^2 + A x + A + Bx^2 + Cx - Bx - C =(A+B)x^2 + (A + C - B)x + (A - C).
Comparando com x^2 - 2x - 2, o sistema é
\begin{cases} A + B = 1,\\\ A + C - B = -2,\\\ A - C = -2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo
A - C = -2\implies C = A + 2,
A + B = 1,
A + (A+2) - B = -2\implies 2A - B = -4\implies B = 2A+4.
Substituindo em A+B=1:
A + (2A+4)=1\implies 3A = -3\implies A=-1,
daí B=2 e C=1.

Passo 5

Com isso
\frac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1} =-\frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^2+x+1}.
A integral fica
\int \frac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1}\,dx =-\int \frac{1}{x-1}\,dx +\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx.
Para o primeiro termo,
-\int \frac{1}{x-1}\,dx = -\ln\bigl|x-1\bigr|.
Para o segundo, note que \tfrac{d}{dx}(x^2+x+1)=2x+1, logo
\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx =\ln\bigl(x^2+x+1\bigr).

Resposta

\ln\!\Bigl(x^2+x+1\Bigr)\;-\;\ln\bigl|x-1\bigr| + C
ou equivalentemente
\ln\!\left|\frac{x^2+x+1}{x-1}\right| + C.

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