Resolva usando o método dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{x} \sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=e^{x}\sin x.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com termo não-homogêneo e^{x}\sin x.
  • Queremos a solução geral y(x), que será a soma da solução homogênea y_h e de uma solução particular y_p.
  • Devemos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), ou seja, supor uma forma para y_p com parâmetros a achar.

Passo 2

Encontre a solução homogênea y_h. Primeiro montamos a equação característica associada à parte homogênea:
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2, distintas e reais. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha da forma de y_p pelo método dos coeficientes a determinar.
Lembrete prático: para um termo forçado da forma e^{\alpha x}\cos(\beta x) ou e^{\alpha x}\sin(\beta x), um palpite clássico para y_p é
y_p(x)=e^{\alpha x}\big(P\cos(\beta x)+Q\sin(\beta x)\big),
onde P,Q são constantes (ou polinômios, se o forçante tiver polinômios). Se r=\alpha\pm i\beta for raiz da equação característica de multiplicidade s, multiplicamos o palpite por x^{s}.
No nosso caso \alpha=1 e \beta=1. Precisamos verificar se r=1\pm i é raiz da característica. Avaliando o polinômio característico em r=1+i:
(1+i)^{2}-3(1+i)+2 = 2i-3-3i+2 = -1-i \neq 0.
Portanto 1\pm i não são raízes; não há ressonância e o palpite não precisa ser multiplicado por x. Assim adotamos
y_{p}(x)=e^{x}\big(A\cos x+B\sin x\big),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calcule y_p' e y_p'' cuidadosamente usando a regra do produto. Primeiro escrevemos
y_{p}(x)=e^{x}U(x),\qquad U(x)=A\cos x+B\sin x.
Derivando:
y_{p}'=e^{x}U+e^{x}U'=e^{x}\big(U+U'\big).
Como
U'= -A\sin x + B\cos x,
temos
U+U'=(A\cos x+B\sin x)+(-A\sin x+B\cos x).
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
U+U'=(A+B)\cos x+(B-A)\sin x.
Logo
y_{p}'=e^{x}\big((A+B)\cos x+(B-A)\sin x\big).
Agora derivamos y_{p}' para obter y_{p}''. Seja V(x)=(A+B)\cos x+(B-A)\sin x. Então
y_{p}''=e^{x}V+e^{x}V'=e^{x}(V+V').
Calcule V':
V' = -(A+B)\sin x + (B-A)\cos x.
Somando V+V':
V+V'=(A+B)\cos x+(B-A)\sin x + (-(A+B)\sin x+(B-A)\cos x).
Agrupando termos:
  • Coeficiente de \cos x: (A+B)+(B-A)=2B.
  • Coeficiente de \sin x: (B-A)-(A+B)= -2A.
Logo
y_{p}''=e^{x}\big(2B\cos x -2A\sin x\big).

Passo 5

Aplique o operador linear L[y]=y''-3y'+2y sobre y_p. Substituindo as expressões obtidas:
y_{p}''-3y_{p}'+2y_{p}=e^{x}\Big(\big[2B\cos x-2A\sin x\big]-3\big[(A+B)\cos x+(B-A)\sin x\big]+2\big[A\cos x+B\sin x\big]\Big).
Agora agrupamos os coeficientes de \cos x e \sin x.
Coeficiente de \cos x:
2B-3(A+B)+2A = 2B-3A-3B+2A = -B - A = -(A+B).
Coeficiente de \sin x:
-2A-3(B-A)+2B = -2A-3B+3A+2B = A-B.
Portanto
L[y_p]=e^{x}\big( -(A+B)\cos x + (A-B)\sin x \big).

Passo 6

Iguale L[y_p] ao lado direito e^{x}\sin x. Isso gera o sistema para os coeficientes de \cos x e \sin x:
-(A+B)=0,\qquad A-B=1.
Resolva o sistema. Da primeira equação vem A=-B. Substituindo na segunda:
(-B)-B=1 \implies -2B=1 \implies B=-\tfrac{1}{2}.
Então
A=-B=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Com os valores obtidos,
y_{p}(x)=e^{x}\Big(\tfrac{1}{2}\cos x -\tfrac{1}{2}\sin x\Big)=\tfrac{1}{2}e^{x}(\cos x-\sin x).
Verificação rápida: com esses A,B o coeficiente de \cos x em L[y_p] é zero e o coeficiente de \sin x é 1, logo L[y_p]=e^{x}\sin x, como desejado.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\tfrac{1}{2}e^{x}(\cos x-\sin x)

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