Resolva usando o método dos coeficientes a determinar
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
Informações dadas e o que se pede:
- É uma EDO linear de segunda ordem com termo não-homogêneo
. - Queremos a solução geral
, que será a soma da solução homogênea e de uma solução particular . - Devemos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), ou seja, supor uma forma para
com parâmetros a achar.
Passo 2
Encontre a solução homogênea
. Primeiro montamos a equação característica associada à parte homogênea:
Resolvendo a quadrática:
logo as raízes são
e
, distintas e reais. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha da forma de
pelo método dos coeficientes a determinar.
Lembrete prático: para um termo forçado da forma
ou
, um palpite clássico para
é
onde
são constantes (ou polinômios, se o forçante tiver polinômios). Se
for raiz da equação característica de multiplicidade
, multiplicamos o palpite por
.
No nosso caso
e
. Precisamos verificar se
é raiz da característica. Avaliando o polinômio característico em
:
Portanto
não são raízes; não há ressonância e o palpite não precisa ser multiplicado por
. Assim adotamos
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calcule
e
cuidadosamente usando a regra do produto. Primeiro escrevemos
Derivando:
Como
temos
Agrupando coeficientes de
e
:
Logo
Agora derivamos
para obter
. Seja
. Então
Calcule
:
Somando
:
Agrupando termos:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo
Passo 5
Aplique o operador linear
sobre
. Substituindo as expressões obtidas:
Agora agrupamos os coeficientes de
e
.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Passo 6
Iguale
ao lado direito
. Isso gera o sistema para os coeficientes de
e
:
Resolva o sistema. Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
Passo 7
Com os valores obtidos,
Verificação rápida: com esses
o coeficiente de
em
é zero e o coeficiente de
é
, logo
, como desejado.