Considere uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, cuja posição, velocidade e aceleração no instante t são dadas por x(t), v(t) e a(t), respectivamente. Encontre a função posição x(t) nos casos abaixo, considerando as condições iniciais dadas:
A aceleração é constante e dada por a(t)=-g, com velocidade inicial v(0)=v_{0} e posição inicial x(0)=x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a posição da partícula no tempo t:
  • A aceleração é constante e igual a \;a(t) = -g\; (com g>0 representando a aceleração da gravidade).
  • A velocidade inicial é \;v(0)=v_{0}\;.
  • A posição inicial é \;x(0)=x_{0}\;.
O que se pede: encontrar explicitamente a função posição \;x(t)\; que satisfaz essas condições.

Passo 2

Entendendo as relações entre as funções (relembrando o que cada coisa significa e como se relacionam):
  • A posição \;x(t)\; dá onde a partícula está no instante \;t\;.
  • A velocidade \;v(t)\; é a taxa de variação da posição, ou seja, a derivada de \;x(t)\;: \;v(t)=x'(t)\;.
  • A aceleração \;a(t)\; é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição: \;a(t)=v'(t)=x''(t)\;.
Como temos \;a(t)\; conhecido, vamos integrar para obter \;v(t)\;, e depois integrar \;v(t)\; para obter \;x(t)\;. Integração aqui significa procurar funções cuja derivada é a função dada (antiderivadas).

Passo 3

Integramos a aceleração para obter a velocidade. Como \;a(t)=-g\; é uma constante (não depende de t), a antiderivada é simples:
v(t)=\int a(t)\,dt=\int (-g)\,dt = -g\,t + C_1,
onde \;C_1\; é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida não fixa o valor absoluto da função.
Explicando a regra usada: a integral de uma constante \;c\; é \;ct\; (mais uma constante). Aqui \;c=-g\;, então a integral é -g t.

Passo 4

Determinamos \;C_1\; usando a condição inicial para a velocidade. Sabemos que \;v(0)=v_0\;. Substituindo t=0 em \;v(t)=-g t + C_1\;
v(0) = -g\cdot 0 + C_1 = C_1.
Como v(0)=v_0, concluímos \;C_1 = v_0\;. Assim a velocidade é
v(t)=v_0 - g\,t.
Interpretação física rápida: a velocidade inicial \;v_0\; é reduzida linearmente com o tempo pela ação da gravidade.

Passo 5

Agora integremos \;v(t)\; para obter \;x(t)\;. Temos
x(t)=\int v(t)\,dt = \int \big(v_0 - g t\big)\,dt.
Separando termos e usando regras básicas de integral (a integral de uma constante \;v_0\; é \;v_0 t\;; a integral de \;t\; é \tfrac{t^2}{2}):
x(t) = v_0 t - g\cdot \frac{t^2}{2} + C_2 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 + C_2,
onde \;C_2\; é outra constante de integração.

Passo 6

Usamos a condição inicial para a posição \;x(0)=x_0\; para achar \;C_2\;. Substituindo t=0:
x(0) = v_0\cdot 0 - \frac{1}{2}g\cdot 0^2 + C_2 = C_2.
Como x(0)=x_0, obtemos \;C_2 = x_0\;. Portanto a posição é
x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.

Passo 7

Verificação rápida (para você confiar no resultado): derive \;x(t)\; uma vez para obter \;v(t)\; e duas vezes para obter \;a(t)\;.
Derivando:
x'(t)=v(t)=\frac{d}{dt}\big(x_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2\big) = v_0 - g t,
e derivando novamente:
x''(t)=a(t)=\frac{d}{dt}\big(v_0 - g t\big) = -g.
As condições iniciais também conferem: x(0)=x_0 e v(0)=v_0. Tudo bate direitinho.

Passo 8

Comentário prático e incentivo: esse é o resultado clássico do movimento com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado). Na prova, basta lembrar: integrar aceleração para achar velocidade (aparecem constantes), usar condições iniciais para achar constantes, integrar de novo para a posição. Você consegue repetir isso com qualquer a(t) razoável — calma, é só seguir as integrais.

Resposta

x(t)=x_{0}+v_{0}\,t-\dfrac{1}{2}\,g\,t^{2}

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