Considere uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, cuja posição, velocidade e aceleração no instante
são dadas por
e
, respectivamente. Encontre a função posição
nos casos abaixo, considerando as condições iniciais dadas:
A aceleração é constante e dada por
, com velocidade inicial
e posição inicial
.
A aceleração é constante e dada por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a posição da partícula no tempo
:
- A aceleração é constante e igual a
(com representando a aceleração da gravidade). - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
.
O que se pede: encontrar explicitamente a função posição
que satisfaz essas condições.
Passo 2
Entendendo as relações entre as funções (relembrando o que cada coisa significa e como se relacionam):
- A posição
dá onde a partícula está no instante . - A velocidade
é a taxa de variação da posição, ou seja, a derivada de : . - A aceleração
é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição: .
Como temos
conhecido, vamos integrar para obter
, e depois integrar
para obter
. Integração aqui significa procurar funções cuja derivada é a função dada (antiderivadas).
Passo 3
Integramos a aceleração para obter a velocidade. Como
é uma constante (não depende de
), a antiderivada é simples:
onde
é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida não fixa o valor absoluto da função.
Explicando a regra usada: a integral de uma constante
é
(mais uma constante). Aqui
, então a integral é
.
Passo 4
Determinamos
usando a condição inicial para a velocidade. Sabemos que
. Substituindo
em
dá
Como
, concluímos
. Assim a velocidade é
Interpretação física rápida: a velocidade inicial
é reduzida linearmente com o tempo pela ação da gravidade.
Passo 5
Agora integremos
para obter
. Temos
Separando termos e usando regras básicas de integral (a integral de uma constante
é
; a integral de
é
):
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Usamos a condição inicial para a posição
para achar
. Substituindo
:
Como
, obtemos
. Portanto a posição é
Passo 7
Verificação rápida (para você confiar no resultado): derive
uma vez para obter
e duas vezes para obter
.
Derivando:
e derivando novamente:
As condições iniciais também conferem:
e
. Tudo bate direitinho.
Passo 8
Comentário prático e incentivo: esse é o resultado clássico do movimento com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado). Na prova, basta lembrar: integrar aceleração para achar velocidade (aparecem constantes), usar condições iniciais para achar constantes, integrar de novo para a posição. Você consegue repetir isso com qualquer
razoável — calma, é só seguir as integrais.