Resolva
y^{\prime}+\frac{y}{x}=x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime}+\frac{y}{x}=x^{2}y^{2},
onde y=y(x) é a função desconhecida e y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. O que se pede é encontrar a solução geral y(x). Observação imediata: a equação contém o termo \dfrac{y}{x}, portanto x=0 é ponto singular e as soluções serão tratadas em intervalos onde x\neq 0. Anote também que y\equiv 0 é uma candidata óbvia à solução (vou verificar isso mais adiante).

Passo 2

Vamos escolher um método. A equação tem a forma
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2} e n=2. Quando a equação está nessa forma (Bernoulli), uma substituição clássica que funciona é transformar em uma equação linear usando u=y^{1-n}. Aqui 1-n= -1, então usamos a substituição
u=\frac{1}{y}.
Vou explicar por quê e como isso transforma a equação: essa escolha vale porque quando n\neq 0,1 a Bernoulli pode virar linear com essa mudança de variável.

Passo 3

Calcule a derivada de u em termos de y. Como u=y^{-1}, por regra da cadeia temos
u^{\prime}=\frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big)=-1\cdot y^{-2}\cdot y^{\prime}=-\frac{y^{\prime}}{y^{2}}.
Isto é uma identidade útil que vamos usar para eliminar y^{\prime}.

Passo 4

Agora divida a equação original por y^{2} (isso é permitido enquanto y\neq 0; trataremos y\equiv 0 separadamente). Dividindo ambos os lados por y^{2} obtemos
\frac{y^{\prime}}{y^{2}}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=x^{2}.
Usando a relação do Passo 3 ( u^{\prime}=-\dfrac{y^{\prime}}{y^{2}}) e lembrando que \dfrac{1}{y}=u, substituímos para obter
- u^{\prime} + \frac{1}{x}u = x^{2}.
Multiplicando por -1 ficamos com a equação linear em u
u^{\prime}-\frac{1}{x}u = -x^{2}.

Passo 5

Agora resolvemos essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é u^{\prime}+p(x)u = r(x). Aqui p(x)=-\dfrac{1}{x} e r(x)=-x^{2}. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\big(-\ln|x|\big)=\frac{1}{|x|}.
Como trabalhamos em intervalos onde x\neq 0, podemos escolher \mu(x)=\dfrac{1}{x} (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração final). Multiplicamos a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x}:
\frac{1}{x}u^{\prime}-\frac{1}{x^{2}}u = -\frac{x^{2}}{x} = -x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{u}{x}, porque
\left(\frac{u}{x}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot x - u\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1}{x}u^{\prime}-\frac{1}{x^{2}}u.
Logo temos a equação exata
\left(\frac{u}{x}\right)^{\prime} = -x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \left(\frac{u}{x}\right)^{\prime}\,dx = \int -x\,dx.
Isso dá
\frac{u}{x} = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Multiplicando por x obtemos
u = Cx - \frac{x^{3}}{2}.

Passo 7

Voltamos à variável original y. Lembrando que u=\dfrac{1}{y}, temos
\frac{1}{y} = Cx - \frac{x^{3}}{2}.
Portanto, para y\neq 0,
y(x) = \frac{1}{Cx - \dfrac{x^{3}}{2}}.
Podemos fatorar x no denominador se quisermos:
y(x)=\frac{1}{x\!\left(C-\dfrac{x^{2}}{2}\right)}.
Também é comum reescrever a constante para eliminar frações: definindo K=2C obtemos
y(x)=\frac{2}{Kx - x^{3}}=\frac{2}{x(K-x^{2})},
com K arbitrária. Ambas as formas são equivalentes; basta lembrar que C (ou K) é constante arbitrária.

Passo 8

Não esquecer a solução que foi excluída ao dividir por y^{2}: y\equiv 0 é de fato solução da equação original, porque substituindo y=0 temos 0+0=0. Além disso, reforço que todas as soluções obtidas são válidas em intervalos onde x\neq 0 e onde o denominador não zera (ou seja, Cx-\dfrac{x^{3}}{2}\neq 0).

Resposta

y(x)=0\n y(x)=\dfrac{1}{Cx-\dfrac{x^{3}}{2}}, com C constante arbitrária (válido para x\neq 0 e denominador não nulo).

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