Resolva
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a função desconhecida e
. O que se pede é encontrar a solução geral
. Observação imediata: a equação contém o termo
, portanto
é ponto singular e as soluções serão tratadas em intervalos onde
. Anote também que
é uma candidata óbvia à solução (vou verificar isso mais adiante).
Passo 2
Vamos escolher um método. A equação tem a forma
com
,
e
. Quando a equação está nessa forma (Bernoulli), uma substituição clássica que funciona é transformar em uma equação linear usando
. Aqui
, então usamos a substituição
Vou explicar por quê e como isso transforma a equação: essa escolha vale porque quando
a Bernoulli pode virar linear com essa mudança de variável.
Passo 3
Calcule a derivada de
em termos de
. Como
, por regra da cadeia temos
Isto é uma identidade útil que vamos usar para eliminar
.
Passo 4
Agora divida a equação original por
(isso é permitido enquanto
; trataremos
separadamente). Dividindo ambos os lados por
obtemos
Usando a relação do Passo 3 (
) e lembrando que
, substituímos para obter
Multiplicando por
ficamos com a equação linear em
Passo 5
Agora resolvemos essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
. Aqui
e
. O fator integrante
é dado por
Como trabalhamos em intervalos onde
, podemos escolher
(o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração final). Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Logo temos a equação exata
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é constante arbitrária de integração. Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos
Portanto, para
,
Podemos fatorar
no denominador se quisermos:
Também é comum reescrever a constante para eliminar frações: definindo
obtemos
com
arbitrária. Ambas as formas são equivalentes; basta lembrar que
(ou
) é constante arbitrária.
Passo 8
Não esquecer a solução que foi excluída ao dividir por
:
é de fato solução da equação original, porque substituindo
temos
. Além disso, reforço que todas as soluções obtidas são válidas em intervalos onde
e onde o denominador não zera (ou seja,
).