Resolva (usando o método de substituição)
\int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{3}\cos\!\big(x^{4}\big)\,dx usando o método de substituição.
Informações dadas: a variável de integração é x, o integrando é x^{3}\cos\!\big(x^{4}\big) e devemos encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia da substituição (explicando o porquê): olhar para a composição \cos\!\big(x^{4}\big). Quando há uma função composta f(g(x)) é comum tentar u=g(x) para simplificar. Aqui g(x)=x^{4}. Além disso, ao derivar x^{4} aparece um fator x^{3} (mais um coeficiente), que coincide com o fator x^{3} multiplicando \cos. Isso indica que a substituição u=x^{4} vai funcionar bem.

Passo 3

Fazer a substituição: defina u e calcule du.
u = x^{4}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 4x^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 4x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx temos
x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 4

Trocar variáveis na integral: substitua x^{3}\,dx por \dfrac{du}{4} e x^{4} por u.
\int x^{3}\cos\!\big(x^{4}\big)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u: a antiderivada de \cos(u) é \sin(u), porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Assim,
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável x substituindo u=x^{4}:
\frac{1}{4}\sin(u)+C = \frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big) + C.

Passo 7

Verificação rápida (para garantir que está correto): derivando a primitiva encontrada,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big)\right) = \frac{1}{4}\cos\!\big(x^{4}\big)\cdot 4x^{3} = x^{3}\cos\!\big(x^{4}\big),
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big)+C

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