Resolva (usando o método de substituição)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando o método de substituição.
Informações dadas: a variável de integração é , o integrando é
e devemos encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais uma constante de integração
.
Informações dadas: a variável de integração é
Passo 2
Ideia da substituição (explicando o porquê): olhar para a composição
. Quando há uma função composta
é comum tentar
para simplificar. Aqui
. Além disso, ao derivar
aparece um fator
(mais um coeficiente), que coincide com o fator
multiplicando
. Isso indica que a substituição
vai funcionar bem.
Passo 3
Fazer a substituição: defina
e calcule
.
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Trocar variáveis na integral: substitua
por
e
por
.
Passo 5
Calcular a integral em
: a antiderivada de
é
, porque
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (para garantir que está correto): derivando a primitiva encontrada,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.