Resolva (usando o método de substituição)
\int \frac{1-2 x}{\sqrt{3 x+2}} d x

Passo 1

Vou anotar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: calcular a integral \displaystyle \int \frac{1-2x}{\sqrt{3x+2}}\,dx.
  • Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando o método de substituição.

Passo 2

Por que usar a substituição?
A raiz \sqrt{3x+2} envolve a expressão linear 3x+2. No método de substituição escolhemos u igual à expressão que aparece dentro da raiz quando isso simplifica a integral. Então fazemos a escolha
u = 3x+2.
Explicando: a ideia é transformar uma função de x em uma função de u mais simples de integrar. Aqui \sqrt{3x+2} vira \sqrt{u}, que é uma potência simples de u.

Passo 3

Calcular du e dx. Diferenciando \,u=3x+2 em relação a x obtemos
du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Também precisamos escrever 1-2x em função de u. Da definição de u temos
x = \frac{u-2}{3}.
Portanto
1-2x = 1 - 2\cdot\frac{u-2}{3} = 1 - \frac{2u-4}{3} = \frac{3 - 2u +4}{3} = \frac{7-2u}{3}.

Passo 4

Substituir tudo na integral. A integral original
\int \frac{1-2x}{\sqrt{3x+2}}\,dx
fica, usando u, dx=\dfrac{du}{3} e 1-2x=\dfrac{7-2u}{3},
\int \frac{\dfrac{7-2u}{3}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3}.
Agora simplificamos os fatores constantes:
\int \frac{7-2u}{9}\,u^{-1/2}\,du = \frac{1}{9}\int (7u^{-1/2}-2u^{1/2})\,du.

Passo 5

Aplicar a regra de potência para integrar. Lembrete (fórmula): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos dois termos com potências n=-\tfrac{1}{2} e n=\tfrac{1}{2}.
Integrando termo a termo:
\int 7u^{-1/2}\,du = 7\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} = 7\cdot 2\,u^{1/2} = 14\,u^{1/2},
\int -2u^{1/2}\,du = -2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = -2\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = -\frac{4}{3}\,u^{3/2}.

Passo 6

Combinar as integrais com o fator \dfrac{1}{9}:
\frac{1}{9}\Big(14\,u^{1/2}-\frac{4}{3}\,u^{3/2}\Big) = \frac{14}{9}\,u^{1/2}-\frac{4}{27}\,u^{3/2}+C.

Passo 7

Voltar para a variável x substituindo u=3x+2. Assim a primitiva em x é
\frac{14}{9}\sqrt{3x+2}-\frac{4}{27}(3x+2)^{3/2}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{9}\sqrt{3x+2}-\frac{4}{27}(3x+2)^{3/2}+C

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