Resolva (usando o método de substituição)
Passo 1
Vou anotar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: calcular a integral
- Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando o método de substituição.
Passo 2
Por que usar a substituição?
A raiz envolve a expressão linear
. No método de substituição escolhemos
igual à expressão que aparece dentro da raiz quando isso simplifica a integral. Então fazemos a escolha
A raiz
Explicando: a ideia é transformar uma função de
em uma função de
mais simples de integrar. Aqui
vira
, que é uma potência simples de
.
Passo 3
Calcular
e
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Também precisamos escrever
em função de
. Da definição de
temos
Portanto
Passo 4
Substituir tudo na integral. A integral original
fica, usando
,
e
,
Agora simplificamos os fatores constantes:
Passo 5
Aplicar a regra de potência para integrar. Lembrete (fórmula): para
,
Aqui temos dois termos com potências
e
.
Integrando termo a termo:
Passo 6
Combinar as integrais com o fator
:
Passo 7
Voltar para a variável
substituindo
. Assim a primitiva em
é