Resolva usando o teorema de Green e escreva como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (não precisa resolver, porém escreva as dificuldades que teria logo no início)
Calcule \oint_{C} y^{2} d x+3 x y d y, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} y^{2}\,dx + 3xy\,dy,
onde C é o contorno da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}=4\;. As perguntas/itens são: calcular a integral usando o Teorema de Green e também escrever como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (sem necessidade de resolver essa forma), indicando as dificuldades iniciais dessa abordagem. Informações dadas relevantes: a região D é o anel (entre r=1 e r=2) restrito ao semiplano y\ge 0, logo seu contorno C é composto por quatro arcos/segmentos (duas semicircunferências superiores e dois segmentos sobre o eixo x). Não há figura enviada, mas a descrição do enunciado é suficiente.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Green (aqui explico o que ele afirma e por que posso usá‑lo). Seja um campo vetorial com componentes P(x,y) e Q(x,y) definidas e com derivadas parciais contínuas numa região planar D com contorno simples e orientado positivamente (contorno mantendo D à esquerda). O Teorema de Green afirma:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Explicando: \oint_{C} P\,dx + Q\,dy é a integral de circulação do campo (P,Q) ao longo de C. O lado direito transforma essa circulação numa integral dupla sobre a área D do rotacional escalar \partial_x Q - \partial_y P. As hipóteses pedidas pelo teorema (derivadas contínuas e contorno fechado e orientado) estão satisfeitas aqui, pois P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=3xy são polinomiais (derivadas contínuas) e D é uma região limitada por curvas lisas por partes.

Passo 3

Identifico as funções P e Q do enunciado:
P(x,y)=y^{2},\qquad Q(x,y)=3xy.
Agora calculo as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Logo o rotacional (escalares) é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3y-2y=y.

Passo 4

Pelo Teorema de Green a integral de linha é igual à integral dupla
\oint_{C} y^{2}\,dx + 3xy\,dy = \iint_{D} y\,dA.
Agora descrevo D em coordenadas polares porque é circularmente definido: em polares \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\;. Para a semianaular superior entre os círculos r=1 e r=2 temos
1\le r\le 2,\qquad 0\le\theta\le\pi.
Lembrete de fórmula: em coordenadas polares a área elementar é dA=r\,dr\,d\theta. Além disso y=r\sin\theta.

Passo 5

Substituo y e dA em polares na integral dupla:
\iint_{D} y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=1}^{2} \big(r\sin\theta\big)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} r^{2}\sin\theta \,dr\,d\theta.
Expliquei: y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta, portanto o integrando ficou r\sin\theta\cdot r = r^{2}\sin\theta. Note que a integral é separável em variável radial e angular porque r^{2}\sin\theta = (r^{2})\cdot(\sin\theta).

Passo 6

Calculo primeiro a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Depois a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi} \sin\theta \,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Multiplicando os dois resultados (pela separabilidade):
\iint_{D} y\,dA = \left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{1}^{2}r^{2}\,dr\right)=2\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{3}.

Passo 7

Agora escrevo como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (parametrizações) e explico as dificuldades iniciais dessa abordagem. Dificuldades iniciais: a curva C é composta por quatro arcos/segmentos (duas semicircunferências e dois segmentos sobre o eixo x), então preciso parametrizar cada peça separadamente e garantir a orientação correta (orientação positiva: contorno percorrido de modo que a região fique sempre à esquerda). A orientação impõe que a semicircunferência externa (r=2) seja percorrida no sentido anti‑horário, enquanto a semicircunferência interna (r=1) será percorrida no sentido horário (oposto). Também há “cantos” onde as peças se encontram (pontos sobre o eixo x), então a parametrização é por partes (curvas lisas por trechos). Além disso, o cálculo direto exigiria avaliar integrais trigonométricas nas semicircunferências, e cuidar dos sinais ao parametrizar a semicircunferência interior (orientação reversa). Apesar das dificuldades, algumas simplificações surgem: sobre os segmentos do eixo x temos y=0, o que pode anular parte do integrando. Em resumo: é perfeitamente possível, mas é trabalhoso e sujeito a erros de orientação; por isso o Teorema de Green é prático aqui.

Passo 8

Parametrizo as quatro peças de C na ordem que respeita a orientação positiva (começo em (2,0) e sigo anti‑horário na semicircunferência externa):
Peça C_{1}: semicircunferência externa r=2, \theta de 0 a \pi.
\text{parametrização: }\quad x(\theta)=2\cos\theta,\quad y(\theta)=2\sin\theta,\quad 0\le\theta\le\pi.çã
Cálculo diferencial: dx = -2\sin\theta\,d\theta,\; dy=2\cos\theta\,d\theta.
A integral nesta peça seria
\int_{C_{1}} y^{2}\,dx + 3xy\,dy = \int_{0}^{\pi} \Big[(2\sin\theta)^{2}\cdot(-2\sin\theta) + 3\cdot(2\cos\theta)\cdot(2\sin\theta)\cdot(2\cos\theta)\Big] d\theta,
ou seja (simplificando um pouco),
\int_{0}^{\pi} \big[-8\sin^{3}\theta + 24\cos^{2}\theta\sin\theta\big] d\theta.
(Estou apenas escrevendo como ficaria; não vou calcular essa integral explicitamente aqui.)
Peça C_{2}: segmento sobre o eixo x entre (-2,0) e (-1,0) — parametrizo por t indo de -2 até -1:
x(t)=t,\quad y(t)=0,\quad -2\le t\le -1,\quad dx=dt,\;dy=0.
O integrando y^{2}\,dx + 3xy\,dy sobre esse segmento vale zero identicamente porque y=0. Logo a contribuição de C_{2} é 0.
Peça C_{3}: semicircunferência interna r=1. Para manter a orientação positiva a semicircunferência interior é percorrida no sentido horário, isto é \theta de \pi a 0. Parametrização:
x(\theta)=\cos\theta,\quad y(\theta)=\sin\theta,\quad \pi\ge\theta\ge 0,
com dx=-\sin\theta\,d\theta,\;dy=\cos\theta\,d\theta. A integral nesta peça seria
\int_{C_{3}} y^{2}\,dx + 3xy\,dy = \int_{\pi}^{0} \Big[\sin^{2}\theta\cdot(-\sin\theta) + 3(\cos\theta)(\sin\theta)(\cos\theta)\Big] d\theta,
ou reorganizando (ou invertendo os limites com sinal),
- \int_{0}^{\pi} \big[-\sin^{3}\theta + 3\cos^{2}\theta\sin\theta\big] d\theta = \int_{0}^{\pi} \big[\sin^{3}\theta - 3\cos^{2}\theta\sin\theta\big] d\theta,
novamente não vou avaliar explicitamente.
Peça C_{4}: segmento sobre o eixo x entre (1,0) e (2,0), parametrizo por t de 1 a 2:
x(t)=t,\quad y(t)=0,\quad 1\le t\le 2,\quad dx=dt,\;dy=0.
De novo y=0 aqui, então a contribuição dessa peça é 0.
Somando as quatro contribuições daria a integral total. Observações sobre dificuldades: nas duas peças semicirculares é preciso integrar combinações de potências de seno e cosseno (como \sin^{3}\theta e \cos^{2}\theta\sin\theta), ter cuidado com limites e sinais (especialmente na semicircunferência interior porque o sentido é reverso), e verificar continuidade nas junções; entretanto as duas contribuições dos segmentos retos são nulas porque y=0 neles, o que simplifica bastante a soma final. Apesar disso, calcular as integrais trigonométricas separadas e acertar sinais pode consumir tempo e é mais sujeito a erro do que usar Green.

Passo 9

Concluo pelo Teorema de Green e pelo cálculo em coordenadas polares que
\oint_{C} y^{2}\,dx + 3xy\,dy = \frac{14}{3}.

Resposta

\dfrac{14}{3}

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