Resolva usando o teorema de Green e escreva como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (não precisa resolver, porém escreva as dificuldades que teria logo no início)
Calcule
, onde
é o limite da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o contorno da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
. As perguntas/itens são: calcular a integral usando o Teorema de Green e também escrever como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (sem necessidade de resolver essa forma), indicando as dificuldades iniciais dessa abordagem. Informações dadas relevantes: a região
é o anel (entre
e
) restrito ao semiplano
, logo seu contorno
é composto por quatro arcos/segmentos (duas semicircunferências superiores e dois segmentos sobre o eixo
). Não há figura enviada, mas a descrição do enunciado é suficiente.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Green (aqui explico o que ele afirma e por que posso usá‑lo). Seja um campo vetorial com componentes
e
definidas e com derivadas parciais contínuas numa região planar
com contorno simples e orientado positivamente (contorno mantendo
à esquerda). O Teorema de Green afirma:
Explicando:
é a integral de circulação do campo
ao longo de
. O lado direito transforma essa circulação numa integral dupla sobre a área
do rotacional escalar
. As hipóteses pedidas pelo teorema (derivadas contínuas e contorno fechado e orientado) estão satisfeitas aqui, pois
e
são polinomiais (derivadas contínuas) e
é uma região limitada por curvas lisas por partes.
Passo 3
Identifico as funções
e
do enunciado:
Agora calculo as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
Logo o rotacional (escalares) é
Passo 4
Pelo Teorema de Green a integral de linha é igual à integral dupla
Agora descrevo
em coordenadas polares porque é circularmente definido: em polares
. Para a semianaular superior entre os círculos
e
temos
Lembrete de fórmula: em coordenadas polares a área elementar é
. Além disso
.
Passo 5
Substituo
e
em polares na integral dupla:
Expliquei:
e
, portanto o integrando ficou
. Note que a integral é separável em variável radial e angular porque
.
Passo 6
Calculo primeiro a integral em
:
Depois a integral em
:
Multiplicando os dois resultados (pela separabilidade):
Passo 7
Agora escrevo como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (parametrizações) e explico as dificuldades iniciais dessa abordagem. Dificuldades iniciais: a curva
é composta por quatro arcos/segmentos (duas semicircunferências e dois segmentos sobre o eixo
), então preciso parametrizar cada peça separadamente e garantir a orientação correta (orientação positiva: contorno percorrido de modo que a região fique sempre à esquerda). A orientação impõe que a semicircunferência externa (r=2) seja percorrida no sentido anti‑horário, enquanto a semicircunferência interna (r=1) será percorrida no sentido horário (oposto). Também há “cantos” onde as peças se encontram (pontos sobre o eixo
), então a parametrização é por partes (curvas lisas por trechos). Além disso, o cálculo direto exigiria avaliar integrais trigonométricas nas semicircunferências, e cuidar dos sinais ao parametrizar a semicircunferência interior (orientação reversa). Apesar das dificuldades, algumas simplificações surgem: sobre os segmentos do eixo
temos
, o que pode anular parte do integrando. Em resumo: é perfeitamente possível, mas é trabalhoso e sujeito a erros de orientação; por isso o Teorema de Green é prático aqui.
Passo 8
Parametrizo as quatro peças de
na ordem que respeita a orientação positiva (começo em
e sigo anti‑horário na semicircunferência externa):
Peça
: semicircunferência externa
,
de
a
.
Cálculo diferencial:
.
A integral nesta peça seria
A integral nesta peça seria
ou seja (simplificando um pouco),
(Estou apenas escrevendo como ficaria; não vou calcular essa integral explicitamente aqui.)
Peça
: segmento sobre o eixo
entre
e
— parametrizo por
indo de
até
:
O integrando
sobre esse segmento vale zero identicamente porque
. Logo a contribuição de
é
.
Peça
: semicircunferência interna
. Para manter a orientação positiva a semicircunferência interior é percorrida no sentido horário, isto é
de
a
. Parametrização:
com
. A integral nesta peça seria
ou reorganizando (ou invertendo os limites com sinal),
novamente não vou avaliar explicitamente.
Peça
: segmento sobre o eixo
entre
e
, parametrizo por
de
a
:
De novo
aqui, então a contribuição dessa peça é
.
Somando as quatro contribuições daria a integral total. Observações sobre dificuldades: nas duas peças semicirculares é preciso integrar combinações de potências de seno e cosseno (como
e
), ter cuidado com limites e sinais (especialmente na semicircunferência interior porque o sentido é reverso), e verificar continuidade nas junções; entretanto as duas contribuições dos segmentos retos são nulas porque
neles, o que simplifica bastante a soma final. Apesar disso, calcular as integrais trigonométricas separadas e acertar sinais pode consumir tempo e é mais sujeito a erro do que usar Green.
Passo 9
Concluo pelo Teorema de Green e pelo cálculo em coordenadas polares que