Calcule a integral curvilínea pela definição de integral curvilínea e usando o Teorema de Green.
Calcule
, onde
é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
, e de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral curvilínea
onde
é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta que unem, na ordem, os pontos
a
, depois
a
, e finalmente
a
. Lista de dados relevantes:
- A integral é da forma
com e . - A curva
é formada por três segmentos (vou chamar de nessa ordem). - Não foi dada nenhuma outra informação; a curva está orientada segundo a ordem dos pontos fornecidos (de
para para e de volta a ).
Passo 2
Vou calcular a integral pela definição (parametrização por segmentos). Regra prática: se uma curva tem parametrização
,
, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
(idem para
). Vou aplicar isso segmento a segmento.
Passo 3
Segmento
: de
a
. Parametrização simples:
Então
e
. Substituindo na fórmula:
Portanto a contribuição de
é
Passo 4
Segmento
: de
a
. Uma parametrização linear é
Então
e
. Calculamos a expressão integrando:
Para integrar, posso expandir
ou usar que
. Faço direto:
Calcule cada uma:
Logo a contribuição de
é
Passo 5
Segmento
: de
a
. Parametrização:
Aqui
e
. Então o integrando é
porque
ao longo de
. Assim
Passo 6
Somando as três contribuições:
Então pela definição (parametrização por segmentos) o valor é
.
Passo 7
Agora calculo usando o Teorema de Green (para conferir e também te ensinar essa ferramenta). O Teorema de Green diz: se
é a fronteira orientada positivamente (sentido anti-horário) de uma região plana
, e
têm derivadas contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui
e
. Calculemos as derivadas parciais:
Então o integrando do duplo é
. A região
é o triângulo com vértices
. Podemos descrever
por
Assim
Calcule a integral interna:
Agora a integral externa:
Portanto, pelo Teorema de Green, a integral de linha vale
, concordando com o cálculo direto.
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido: calculamos a integral de duas formas — por parametrização segmento a segmento (definição) e por Green (transformando em integral dupla) — e ambas deram o mesmo resultado
. Mandou bem por pedir para ver os dois métodos: Green normalmente economiza trabalho quando a região é simples e o integrando do duplo fica fácil.