Calcule a integral curvilínea pela definição de integral curvilínea e usando o Teorema de Green.
Calcule \int_{C} x^{4} d x+x y d y, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1), e de (0,1) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea
\int_{C} x^{4}\,dx + x y\,dy
onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta que unem, na ordem, os pontos (0,0) a (1,0), depois (1,0) a (0,1), e finalmente (0,1) a (0,0). Lista de dados relevantes:
  • A integral é da forma \int_{C} P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=x^{4} e Q(x,y)=x y.
  • A curva C é formada por três segmentos (vou chamar de C_{1},C_{2},C_{3} nessa ordem).
  • Não foi dada nenhuma outra informação; a curva está orientada segundo a ordem dos pontos fornecidos (de (0,0) para (1,0) para (0,1) e de volta a (0,0)).

Passo 2

Vou calcular a integral pela definição (parametrização por segmentos). Regra prática: se uma curva tem parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e dx = x'(t)\,dt (idem para y). Vou aplicar isso segmento a segmento.

Passo 3

Segmento C_{1}: de (0,0) a (1,0). Parametrização simples:
\begin{aligned} x(t) &= t,\\\ y(t) &= 0, \end{aligned}\qquad t\in[0,1].
Então x'(t)=1 e y'(t)=0. Substituindo na fórmula:
P(x,y)x'(t)+Q(x,y)y'(t) = x^{4}\cdot 1 + (x y)\cdot 0 = t^{4}.
Portanto a contribuição de C_{1} é
\int_{C_{1}} x^{4}\,dx + x y\,dy = \int_{0}^{1} t^{4}\,dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Passo 4

Segmento C_{2}: de (1,0) a (0,1). Uma parametrização linear é
\begin{aligned} x(t) &= 1 - t,\\\ y(t) &= 0 + t = t, \end{aligned}\qquad t\in[0,1].
Então x'(t)=-1 e y'(t)=1. Calculamos a expressão integrando:
\begin{aligned} P(x,y)x'(t)+Q(x,y)y'(t) &= (1-t)^{4}\cdot(-1) + \big((1-t)\cdot t\big)\cdot 1\\\ &= - (1-t)^{4} + t(1-t). \end{aligned}
Para integrar, posso expandir (1-t)^{4} ou usar que \int_{0}^{1}(1-t)^{4}dt=\frac{1}{5}. Faço direto:
\int_{0}^{1}\big(- (1-t)^{4} + t(1-t)\big)\,dt = -\int_{0}^{1}(1-t)^{4}dt + \int_{0}^{1}t(1-t)\,dt.
Calcule cada uma:
\int_{0}^{1}(1-t)^{4}dt=\frac{1}{5},
\int_{0}^{1}t(1-t)\,dt=\int_{0}^{1}(t-t^{2})\,dt=\left[\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Logo a contribuição de C_{2} é
- \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{30}.

Passo 5

Segmento C_{3}: de (0,1) a (0,0). Parametrização:
\begin{aligned} x(t) &= 0,\\\ y(t) &= 1 - t, \end{aligned}\qquad t\in[0,1].
Aqui x'(t)=0 e y'(t)=-1. Então o integrando é
P(x,y)x'(t)+Q(x,y)y'(t)=x^{4}\cdot 0 + (x y)\cdot(-1)=0\cdot(-1)=0,
porque x=0 ao longo de C_{3}. Assim
\int_{C_{3}} x^{4}\,dx + x y\,dy = 0.

Passo 6

Somando as três contribuições:
\int_{C} x^{4}\,dx + x y\,dy = \frac{1}{5} + \left(-\frac{1}{30}\right) + 0 = \frac{1}{5}-\frac{1}{30} = \frac{6-1}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}.
Então pela definição (parametrização por segmentos) o valor é \frac{1}{6}.

Passo 7

Agora calculo usando o Teorema de Green (para conferir e também te ensinar essa ferramenta). O Teorema de Green diz: se C é a fronteira orientada positivamente (sentido anti-horário) de uma região plana D, e P,Q têm derivadas contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y)=x^{4} e Q(x,y)=x y. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,\qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{4})=0.
Então o integrando do duplo é y-0=y. A região D é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Podemos descrever D por
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x.
Assim
\iint_{D} y\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} y\,dy\,dx.
Calcule a integral interna:
\int_{y=0}^{1-x} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x} = \frac{(1-x)^{2}}{2}.
Agora a integral externa:
\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-2x+x^{2})\,dx =\frac{1}{2}\left[\\ x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\\ \right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(1-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto, pelo Teorema de Green, a integral de linha vale \frac{1}{6}, concordando com o cálculo direto.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: calculamos a integral de duas formas — por parametrização segmento a segmento (definição) e por Green (transformando em integral dupla) — e ambas deram o mesmo resultado \frac{1}{6}. Mandou bem por pedir para ver os dois métodos: Green normalmente economiza trabalho quando a região é simples e o integrando do duplo fica fácil.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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