Resolva usando o teorema de Green e escreva como seria a integral usando a definição de integral curvilínea (não precisa resolver, porém escreva as dificuldades que teria logo no início)
Calcule \oint_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=9.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o integral de linha fechado e mostrar como seria a integral usando a definição de integral curvilínea, anotando logo no início as dificuldades práticas dessa abordagem. As informações dadas são:
C:\; x^{2}+y^{2}=9
e a integral de linha fechada
\oint_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y.
Observações importantes que tirei do enunciado: havia um pequeno typo escrito “d y d y”; interpreto a integral como a forma padrão P\,dx+Q\,dy com
A orientação da curva C não foi explicitada; por convenção vou assumir a orientação positiva (contra‑horária). As duas tarefas que farei: (i) escrever a integral por definição paramétrica e apontar dificuldades; (ii) calcular o valor usando o teorema pedido.
Passo 2
Escrever a integral pela definição (parametrização) e expor as dificuldades iniciais.
Parametrizamos o círculo de raio 3 com a parametrização usual (orientação positiva):
Dificuldades iniciais (por que não é prático calcular direto pela definição):
O termo e^{\sin(3\cos t)}\sin t envolve composição de exponencial e funções trigonométricas — não tem primitiva elementar conhecida e é intratável por métodos elementares.
O termo \cos t\sqrt{81\sin^{4}t+1} também é muito complicado; a raiz de um polinômio de \sin t não gera primitiva simples.
Embora alguns termos polinomiais em \sin^{2}t e \cos^{2}t sejam fáceis (usando identidades trigonométricas), os dois termos acima inviabilizam encontrar uma antiderivada elementar para todo o integrando. Poderíamos explorar simetrias para tentar eliminar termos, mas nada garante que os termos complicados se cancelem; portanto a integral direta é computacionalmente difícil sem teoremas que a simplifiquem.
Passo 3
Aplicar o teorema pedido (Green) e justificar que podemos aplicá‑lo.
O enunciado pediu resolução usando o teorema de Green. A versão relevante do teorema diz que, para uma curva fechada simples C que é fronteira positiva de uma região planar D, e P,Q com derivadas parciais contínuas em D,
Aqui D é o disco x^{2}+y^{2}\le 9. As funções P(x,y)=3y-e^{\sin x} e Q(x,y)=7x+\sqrt{y^{4}+1} são suaves (todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}), logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas. Lembro que isso requer a orientação positiva de C, que é a suposição que fiz no Passo 1.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais dentro do integrando duplo.
Alternativamente, como o integrando é constante 4, podemos usar diretamente área do disco \pi\cdot 3^{2}=9\pi e obter 4\cdot 9\pi=36\pi.
Passo 6
Comentários finais e observação sobre orientação.
Com a convenção de orientação positiva (contra‑horária) o resultado é \;36\pi. Se a curva tivesse sido percorrida no sentido horário (orientação negativa), o resultado seria o oposto, -36\pi. A vantagem do teorema de Green ficou clara: ele transformou uma integral de linha com termos intratáveis em um integral duplo muito simples porque a combinação \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y é constante.