Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
\frac{x-2}{(x+1)(x-5)}

Passo 1

O enunciado pede decompor a expressão racional \dfrac{x-2}{(x+1)(x-5)} em frações mais simples (forma de frações parciais) cujo denominador seja cada um dos fatores lineares presentes.
Informações dadas: o numerador é x-2 e o denominador é o produto de dois fatores lineares x+1 e x-5. Não há outros dados.

Passo 2

Verificação importante: a fração é própria, ou seja, o grau do numerador é menor que o grau do denominador.
O grau do numerador x-2 é 1.
O grau do denominador (x+1)(x-5) é 2.
Como 1<2, a fração já é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais sem fazer divisão polinomial.

Passo 3

Quando o denominador é o produto de fatores lineares distintos (aqui x+1 e x-5), a forma geral da decomposição é assumir constantes A e B tais que
\frac{x-2}{(x+1)(x-5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}.
Aqui A e B são números reais que precisamos encontrar. A ideia é transformar o lado direito para o mesmo denominador e igualar numeradores.

Passo 4

Colocando o lado direito sobre o mesmo denominador (x+1)(x-5) obtemos:
\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}.
Como os denominadores são iguais, os numeradores devem ser iguais para todo x. Assim temos a identidade:
x-2 = A(x-5)+B(x+1).

Passo 5

Desenvolvendo o lado direito:
A(x-5)+B(x+1)=Ax-5A+Bx+B= (A+B)x + (-5A+B).
Portanto a igualdade de polinômios
x-2 = (A+B)x + (-5A+B)
deve valer para todos os x. Assim comparamos coeficientes dos termos semelhantes (coeficiente de x e termo constante).

Passo 6

Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para A\) e \(B\): \[\begin{cases} A+B=1 \\\\ -5A+B=-2 \end{cases}
Expliquei: a primeira equação vem dos coeficientes de x\] (à esquerda é \(1), a segunda vem dos termos constantes (à esquerda é -2).

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação temos
B=1-A.
Substituindo na segunda:
-5A+(1-A)=-2.
Simplificando:
-6A+1=-2.
Isolando A:
-6A=-3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.

Passo 8

Agora encontramos B usando B=1-A:
B=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 9

Com A=\dfrac{1}{2} e B=\dfrac{1}{2} substituímos na decomposição assumida:
\frac{x-2}{(x+1)(x-5)}=\frac{1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-5}.
Podemos também escrever de forma factorizada:
\frac{x-2}{(x+1)(x-5)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-5}\right).

Passo 10

Dica rápida que vale para a prova: uma alternativa mais veloz (quando os fatores são simples e distintos) é usar o método “cover-up” (tapa): para achar A faça A=\left.\dfrac{x-2}{x-5}\right|_{x=-1}=\dfrac{-1-2}{-1-5}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}. Para B faça B=\left.\dfrac{x-2}{x+1}\right|_{x=5}=\dfrac{5-2}{5+1}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Dá o mesmo resultado e é rápido na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{x-2}{(x+1)(x-5)}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-5)}

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