Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para decompor a fração racional
em frações parciais. As informações dadas são:
- Numerador:
. - Denominador fatorado:
. - Não há outros dados; o objetivo é escrever
como soma de frações mais simples cujo denominador seja e .
Passo 2
Verifico se a fração é própria (isso diz se preciso separar uma parte polinomial antes da decomposição). A regra é comparar os graus:
- grau do numerador é
(por ser ); - grau do denominador é
(por ser ).
Como, a fração é própria: não precisamos de termo polinomial. Então a forma de decomposição é a seguinte: existem constantes e tais que
Explicando: escrevemos uma fração parcial para cada fator linear distinto do denominador, com constantes no numerador — é a forma padrão.
Passo 3
Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
. Assim obtemos uma igualdade polinomial (sem frações):
Isto significa que para todo
os dois polinômios da direita e da esquerda são iguais; portanto podemos encontrar
e
fazendo escolhas convenientes de
ou igualando coeficientes.
Passo 4
Método rápido: escolher
igual às raízes dos fatores para zerar termos e achar as constantes diretamente.
- Tomo
. Substituindo na igualdade polinomial:
Calculando cada lado:
e
, então
Logo
- Tomo
. Substituindo:
Calculando:
e
, então
Logo
Passo 5
Com os valores encontrados, escrevo a decomposição:
Explicando o que fizemos: substituímos
e
na forma padrão
.
Passo 6
Verificação rápida (importante para ter confiança): recombino as frações do lado direito para ver se volto ao original.
Calculo o numerador:
Então a expressão fica
que é exatamente a fração original — verificação concluída.