Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
\frac{x+2}{(x-1)(x-5)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a fração racional \dfrac{x+2}{(x-1)(x-5)} em frações parciais. As informações dadas são:
  • Numerador: \,x+2.
  • Denominador fatorado: \,(x-1)(x-5).
  • Não há outros dados; o objetivo é escrever \dfrac{x+2}{(x-1)(x-5)} como soma de frações mais simples cujo denominador seja (x-1) e (x-5).

Passo 2

Verifico se a fração é própria (isso diz se preciso separar uma parte polinomial antes da decomposição). A regra é comparar os graus:
  • grau do numerador é 1 (por ser x+2);
  • grau do denominador é 2 (por ser (x-1)(x-5)).
    Como 1<2, a fração é própria: não precisamos de termo polinomial. Então a forma de decomposição é a seguinte: existem constantes \,A e \,B tais que
\frac{x+2}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5}.
Explicando: escrevemos uma fração parcial para cada fator linear distinto do denominador, com constantes no numerador — é a forma padrão.

Passo 3

Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-5). Assim obtemos uma igualdade polinomial (sem frações):
x+2 = A(x-5)+B(x-1).
Isto significa que para todo x os dois polinômios da direita e da esquerda são iguais; portanto podemos encontrar A e B fazendo escolhas convenientes de x ou igualando coeficientes.

Passo 4

Método rápido: escolher x igual às raízes dos fatores para zerar termos e achar as constantes diretamente.
  • Tomo x=1. Substituindo na igualdade polinomial:
1+2 = A(1-5)+B(1-1).
Calculando cada lado: 1+2=3 e B(0)=0, então
3 = A(-4).
Logo
A = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}.
  • Tomo x=5. Substituindo:
5+2 = A(5-5)+B(5-1).
Calculando: 5+2=7 e A(0)=0, então
7 = B\cdot 4.
Logo
B = \frac{7}{4}.

Passo 5

Com os valores encontrados, escrevo a decomposição:
\frac{x+2}{(x-1)(x-5)} = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-5}.
Explicando o que fizemos: substituímos A e B na forma padrão \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-5}.

Passo 6

Verificação rápida (importante para ter confiança): recombino as frações do lado direito para ver se volto ao original.
-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-5} =\frac{-3(x-5)+7(x-1)}{4(x-1)(x-5)}.
Calculo o numerador:
-3(x-5)+7(x-1) = -3x+15+7x-7 = 4x+8 = 4(x+2).
Então a expressão fica
\frac{4(x+2)}{4(x-1)(x-5)}=\frac{x+2}{(x-1)(x-5)},
que é exatamente a fração original — verificação concluída.

Resposta

-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{1}{x-5}

Exercícios relacionados