Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais: \frac{x^{2}-3 x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
\frac{x^{2}-3x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}.
Informações dadas e observações úteis: o numerador é x^{2}-3x+7 (grau 2) e o denominador é (x-1)^{2}(x-4)^{2} (grau 4). Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração já é própria e não precisa de termo polinomial adicional.
Passo 2
Forma geral de decomposição para fatores lineares repetidos: para cada fator (x-a)^{2} devemos incluir termos \dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^{2}}. Portanto a decomposição tem a forma
onde A,B,C,D são constantes que precisamos determinar. Explicação rápida do porquê: cada potência k do fator linear gera termos com todas as potências de 1 até k no denominador com constantes no numerador; aqui k=2 para cada fator.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^{2}(x-4)^{2} para obter uma identidade polinomial sem denominadores:
Dica rápida para a prova: sempre comece testando x iguais às raízes dos fatores repetidos para achar os coeficientes das potências máximas; depois escolha valores numéricos simples ou iguale coeficientes para encontrar os restantes.