Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}-3 x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
\frac{x^{2}-3x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}.
Informações dadas e observações úteis: o numerador é x^{2}-3x+7 (grau 2) e o denominador é (x-1)^{2}(x-4)^{2} (grau 4). Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração já é própria e não precisa de termo polinomial adicional.

Passo 2

Forma geral de decomposição para fatores lineares repetidos: para cada fator (x-a)^{2} devemos incluir termos \dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^{2}}. Portanto a decomposição tem a forma
\frac{x^{2}-3x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x-4}+\frac{D}{(x-4)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes que precisamos determinar. Explicação rápida do porquê: cada potência k do fator linear gera termos com todas as potências de 1 até k no denominador com constantes no numerador; aqui k=2 para cada fator.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^{2}(x-4)^{2} para obter uma identidade polinomial sem denominadores:
x^{2}-3x+7 = A(x-1)(x-4)^{2} + B(x-4)^{2} + C(x-4)(x-1)^{2} + D(x-1)^{2}.
Agora A,B,C,D devem satisfazer essa igualdade para todo x.

Passo 4

Usamos valores especiais de x (raízes dos fatores do denominador) para encontrar rapidamente algumas constantes.
Para x=1:
1^{2}-3\cdot1+7 = 5.
No lado direito, todos os termos que contêm fator (x-1) se anulam, restando apenas B(x-4)^{2}. Assim
5 = B(1-4)^{2} = B\cdot 9 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{5}{9}.
Para x=4:
4^{2}-3\cdot4+7 = 11.
No lado direito só sobra D(x-1)^{2}, então
11 = D(4-1)^{2} = D\cdot 9 \quad\Rightarrow\quad D=\frac{11}{9}.

Passo 5

Com B e D encontrados, precisamos de A e C. Podemos escolher outros valores de x fáceis e obter um sistema linear. Tomemos x=0 e x=2.
Para x=0: lado esquerdo
0^{2}-3\cdot0+7 = 7.
Lado direito (substituindo B e D):
A(0-1)(0-4)^{2} + B(0-4)^{2} + C(0-4)(0-1)^{2} + D(0-1)^{2}.
Calculando os termos numéricos:
-16A + 16B -4C + 1D.
Substituindo B=\dfrac{5}{9} e D=\dfrac{11}{9}:
-16A -4C + 16\cdot\frac{5}{9} + \frac{11}{9} = -16A -4C + \frac{80}{9} + \frac{11}{9} = -16A -4C + \frac{91}{9}.
Igualando a 7:
7 = -16A -4C + \frac{91}{9}.
Multiplicando por 9 para eliminar denominadores:
63 = -144A -36C +91 \quad\Rightarrow\quad -144A -36C = -28.
Dividindo por -4:
36A +9C = 7. \tag{I}

Passo 6

Agora para x=2: lado esquerdo
2^{2}-3\cdot2+7 = 5.
Lado direito:
A(2-1)(2-4)^{2} + B(2-4)^{2} + C(2-4)(2-1)^{2} + D(2-1)^{2}.
Calculando:
4A + 4B -2C + 1D.
Substituindo B e D:
4A -2C + 4\cdot\frac{5}{9} + \frac{11}{9} = 4A -2C + \frac{20}{9} + \frac{11}{9} = 4A -2C + \frac{31}{9}.
Igualando a 5:
5 = 4A -2C + \frac{31}{9}.
Multiplicando por 9:
45 = 36A -18C +31 \quad\Rightarrow\quad 36A -18C = 14.
Dividindo por 2:
18A -9C = 7. \tag{II}

Passo 7

Resolvendo o sistema formado pelas equações (\mathrm{I})\) e \((\mathrm{II})\): \[\begin{cases} 36A +9C = 7,\\[4pt] 18A -9C = 7. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar C\]: \[54A = 14 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{14}{54} = \frac{7}{27}.\] Substituindo \(A em (\mathrm{II}):
18\cdot\frac{7}{27} -9C = 7 \quad\Rightarrow\quad \frac{14}{3} -9C = 7.
Daí
-9C = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3} \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{7}{27}.]

Passo 8

Reunindo todas as constantes encontradas:
A=\frac{7}{27},\quad B=\frac{5}{9},\quad C=-\frac{7}{27},\quad D=\frac{11}{9}.
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{x^{2}-3x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}=\frac{7}{27}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{7}{27}\cdot\frac{1}{x-4}+\frac{11}{9}\cdot\frac{1}{(x-4)^{2}}.
Dica rápida para a prova: sempre comece testando x iguais às raízes dos fatores repetidos para achar os coeficientes das potências máximas; depois escolha valores numéricos simples ou iguale coeficientes para encontrar os restantes.

Resposta

\frac{x^{2}-3x+7}{(x-1)^{2}(x-4)^{2}}=\frac{7}{27}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{7}{27}\cdot\frac{1}{x-4}+\frac{11}{9}\cdot\frac{1}{(x-4)^{2}}

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