Resolva, utilizando o Teorema de Convolução, a seguinte equação integral
y(x)=\int_{0}^{x}(t-x) y(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral de Volterra
y(x)=\int_{0}^{x}(t - x)\,y(t)\,dt
utilizando o Teorema de Convolução. O que vamos precisar é reescrever o núcleo como função de x - t e aplicar a transformada de Laplace para transformar a convolução em produto.

Passo 2

Note que
\int_{0}^{x}(t-x)\,y(t)\,dt=-\int_{0}^{x}(x-t)\,y(t)\,dt,
ou seja, a equação vira
y(x)+\int_{0}^{x}(x-t)\,y(t)\,dt=0.
Aqui reconhecemos a convolução (k*y)(x) com k(x)=x.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando o Teorema de Convolução, obtemos
\mathcal{L}\{y\}(s)+\mathcal{L}\{k*y\}(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)+K(s)\,Y(s)=0.

Passo 4

Calculamos a transformada de k(x)=x:
K(s)=\mathcal{L}\{x\}(s)=\int_{0}^{\infty}x\,e^{-s x}\,dx=\frac{1}{s^{2}}.
Substituindo em Y(s)+K(s)Y(s)=0
\bigl(1+\tfrac{1}{s^{2}}\bigr)Y(s)=0.

Passo 5

Da equação algébrica segue Y(s)=0 para todo s. Pela transformada inversa, concluímos
y(x)=0.

Resposta

A única solução da equação integral é
y(x)=0,\quad x\ge0.

Exercícios relacionados