Utilize o Teorema de Convolução a seguinte equação integral:
y=e^{x}+\int_{0}^{x} y(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral de Volterra
y(x)=e^{x}+\int_{0}^{x}y(t)\,dt
usando o Teorema de Convolução no contexto da transformada de Laplace.
Conteúdo: transformada de Laplace e propriedade da convolução, que diz
\mathcal{L}\{f * g\}(s)=F(s)\,G(s).

Passo 2

Observe que
\int_{0}^{x}y(t)\,dt=(y*1)(x),
onde a função constante 1 vale 1 para todo t\ge0. Pelo Teorema de Convolução,
\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{x}y(t)\,dt\Bigr\}(s) =\mathcal{L}\{y*1\}(s) =Y(s)\,\mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 3

Denotando por Y(s)=\mathcal{L}\{y(x)\}(s), temos
\mathcal{L}\{e^{x}\}(s)=\frac{1}{s-1}, \quad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
Aplicando a transformada em ambos os lados de
y(x)=e^{x}+(y*1)(x), resulta
Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s}Y(s).

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s)-\frac{1}{s}\,Y(s)=\frac{1}{s-1},
\Bigl(1-\frac{1}{s}\Bigr)Y(s)=\frac{1}{s-1}, \quad \frac{s-1}{s}\,Y(s)=\frac{1}{s-1},
Y(s)=\frac{s}{(s-1)^{2}}.

Passo 5

Para inverter a transformada, note que
\frac{s}{(s-1)^{2}} =\frac{s-1+1}{(s-1)^{2}} =\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}(x)=e^{x}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s-1)^{2}}\Bigr\}(x)=x\,e^{x},
segue
y(x)=e^{x}+x\,e^{x}=(1+x)e^{x}.

Resposta

y(x)=(1+x)e^{x}.

Exercícios relacionados