Resolva, via mudança de variável dependente, a equação
d^2 xd t^2=1t d xd t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
d^2xdt^2 = 1t,dxdt
usando mudança de variável dependente. Vamos identificar que podemos definir uma nova função v(t) igual à derivada de x.

Passo 2

Definimos
v(t) = dxdt
Então a segunda derivada de x é
d^2xdt^2 = dvdt
Substituindo na equação original, obtemos
dvdt = 1t,v

Passo 3

A equação para v(t) é separável. Podemos escrever
1v,dvdt = 1t
Integramos ambos os lados em relação a t:
integral 1v,dvdt,dt = integral 1t,dt

Passo 4

As integrais dão
ln|v| = ln|t| + C1,
onde C1 é constante de integração. Exponenciando,
v(t) = dxdt = C,t,
com C = pm e^C1, constante arbitrária.

Passo 5

Agora integramos
dxdt = C,t
para encontrar x(t). Integramos em t:
x(t) = integral C,t,dt = C2,t^2 + D,
onde D é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é
x(t) = A,t^2 + B,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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