Resolva
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF = Mdx + Ndy.
Passo 2
Para testar a exatidão, calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, existe uma função F(x,y) tal que
Integramos em relação a x:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Passo 4
Para determinar
, igualamos
a N(x,y):
Daí vem
, logo
(constante).
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por
onde
é uma constante arbitrária.