Resolva
5.3(x^2+y^2+2 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^2 + y^2 + 2x),dx + 2xy,dy = 0
que é do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF = Mdx + Ndy.

Passo 2

Para testar a exatidão, calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial y(x^2 + y^2 + 2x) = 2y,
partial Npartial x = partialpartial x(2xy) = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora, existe uma função F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = x^2 + y^2 + 2x
Integramos em relação a x:
F(x,y) = integral (x^2 + y^2 + 2x),dx = x^33 + x y^2 + x^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), igualamos partial F/partial y a N(x,y):
partial Fpartial y = 2xy + h'(y) stackrel!= 2xy
Daí vem h'(y) = 0, logo h(y) = C1 (constante).

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por
F(x,y) = x^33 + x y^2 + x^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

x^33 + x y^2 + x^2 = C

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