Considere a função f(x, y)=yx^2 e o ponto P(2,2) em seu domínio.
Obtenha a linearização da função f numa vizinhança do ponto P.

Passo 1

Estamos aproximando a função de duas variáveis f(x,y)=y/x² em torno do ponto P(2,2). O conteúdo é linearização (aproximação de primeira ordem) de funções multivariáveis, usando diferencial total. Vamos precisar do valor de f em P e das derivadas parciais em P.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
Para f_x(x,y):
fx(x,y)=∂∂xl(yx²r)=ycdot(-2)x^-3=-2yx^3 ²
Para f_y(x,y):
fy(x,y)=∂∂yl(yx²r)=1x^2 ²

Passo 3

Agora avaliamos f e suas derivadas em P(2,2):
f(2,2)=22^2=12, fx(2,2)=-2·22^3=-48=-12, fy(2,2)=12^2=14

Passo 4

A fórmula da linearização L(x,y) em torno de P é
L(x,y)=f(2,2)+fx(2,2)(x-2)+fy(2,2)(y-2)

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
L(x,y)=12 -12(x-2)+14(y-2)

Resposta

L(x,y)=tfrac12 -tfrac12(x-2)+tfrac14(y-2), que também pode ser escrita como L(x,y)=-tfrac12x+tfrac14y+1.

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