Determine os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela), da função
. Explique a relação da função
com o seguinte problema de otimização: determine 3 números reais cuja soma seja 10 e tal que o produto seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os extremos locais (como máximos, mínimos e pontos de sela) da função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $. Além disso, temos que relacionar essa função com um problema de otimização onde precisamos determinar três números reais que somem 10 e tenham o produto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e estudos de extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Isso significa achar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
E em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos fatorar $ y $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ y = 0 $
- $ 10 - 2x - y = 0 $
$ y = 10 - 2x $
Passo 6
Primeiro, suponha que $ y = 0 $. Substituindo na equação (2):
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 10 $.
Isso nos dá os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (10, 0) $.
Isso nos dá os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (10, 0) $.
Passo 7
Agora, consideramos a segunda possibilidade: $ y = 10 - 2x $.
Substituindo na equação (2):
Substituindo na equação (2):
Simplificando:
Fatorando:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = \frac{10}{3} $.
Passo 8
Para $ x = 0 $, já temos $ y = 10 - 2(0) = 10 $, dando o ponto crítico $ (0, 10) $.
Para $ x = \frac{10}{3} $, $ y = 10 - 2\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3} $, resultando no ponto $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $.
Para $ x = \frac{10}{3} $, $ y = 10 - 2\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3} $, resultando no ponto $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $.
Passo 9
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
O discriminante é $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $.
Passo 10
Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
- Ponto (10, 0):
- Ponto (0, 10):
- Ponto
:
Além disso, $ f_{xx} < 0 $, então temos um máximo local.
Passo 11
Então, resumindo:
- Os pontos $ (0, 0) $, $ (10, 0) $ e $ (0, 10) $ são pontos de sela.
- O ponto $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $ é um máximo local.
Passo 12
Agora, vamos relacionar a função $ f(x, y) $ com o problema de otimização de encontrar três números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja máximo.
Podemos pensar nesses três números como $ a $, $ b $ e $ c $, com $ a + b + c = 10 $. Queremos maximizar $ P = abc $.
Para simplificar, podemos expressar $ c = 10 - a - b $ e substituir na expressão do produto:
Observa que essa função $ P $ é exatamente a função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $, onde $ x = a $ e $ y = b $.
Passo 13
Portanto, os extremos da função $ f(x, y) $ nos ajudam a resolver o problema de otimização original. Especificamente, o máximo local em $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $ nos dá os valores de $ a $ e $ b $ que maximizam o produto $ abc $.
Resposta
Os extremos locais da função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $ são:
- Pontos de sela em $ (0, 0) $, $ (10, 0) $ e $ (0, 10) $.
- Máximo local em $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $.
Isso está relacionado ao problema de otimização de escolher três números cuja soma seja 10 e que seu produto seja máximo, sendo $ a = b = \frac{10}{3} $ e $ c = \frac{10}{3} $ os valores que maximizam o produto $ abc $.