Determine os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela), da função f(x, y)=10 x y-x^2 y-x y^2. Explique a relação da função f com o seguinte problema de otimização: determine 3 números reais cuja soma seja 10 e tal que o produto seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os extremos locais (como máximos, mínimos e pontos de sela) da função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $. Além disso, temos que relacionar essa função com um problema de otimização onde precisamos determinar três números reais que somem 10 e tenham o produto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e estudos de extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Isso significa achar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
E em relação a $ y $:
fx = partial fpartial x = 10y - 2xy - y^2

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
10y - 2xy - y^2 = 0 (1)
10x - x^2 - 2xy = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos fatorar $ y $:
y
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ 10 - 2x - y = 0 $ y(10 - 2x - y) = 0 $ y = 10 - 2x $

Passo 6

Primeiro, suponha que $ y = 0 $. Substituindo na equação (2):
y = 0
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 10 $.
Isso nos dá os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (10, 0) $.

Passo 7

Agora, consideramos a segunda possibilidade: $ y = 10 - 2x $.
Substituindo na equação (2):
y = 10 - 2x
Simplificando:
10x - x^2 - 2x(10 - 2x) = 0
Fatorando:
10x - x^2 - 20x + 4x^2 = 0 Rightarrow 3x^2 - 10x = 0
Então, $ x = 0 $ ou $ x = \frac{10}{3} $.

Passo 8

Para $ x = 0 $, já temos $ y = 10 - 2(0) = 10 $, dando o ponto crítico $ (0, 10) $.
Para $ x = \frac{10}{3} $, $ y = 10 - 2\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3} $, resultando no ponto $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $.

Passo 9

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 10 - 2x - 2y
O discriminante é $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $.

Passo 10

Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
fxx = 0, fyy = 0, fxy = 10
D = 0 cdot 0 - 10^2 = -100 < 0 Rightarrow Ponto de sela
  1. Ponto (10, 0):
fxx = -0 = 0, fyy = -20, fxy = -10
D = 0 cdot (-20) - (-10)^2 = -100 < 0 Rightarrow Ponto de sela
  1. Ponto (0, 10):
fxx = -20, fyy = 0, fxy = -10
D = (-20) cdot 0 - (-10)^2 = -100 < 0 Rightarrow Ponto de sela
  1. Ponto (103, 103):
fxx = -203, fyy = -203, fxy = 10 - 2(103) - 2(103) = 10 - 403 = -103
D = (-203)(-203) - (-103)^2 = 4009 - 1009 = 3009 = 1003 > 0
Além disso, $ f_{xx} < 0 $, então temos um máximo local.

Passo 11

Então, resumindo:
  • Os pontos $ (0, 0) $, $ (10, 0) $ e $ (0, 10) $ são pontos de sela.
  • O ponto $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $ é um máximo local.

Passo 12

Agora, vamos relacionar a função $ f(x, y) $ com o problema de otimização de encontrar três números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja máximo.
Podemos pensar nesses três números como $ a $, $ b $ e $ c $, com $ a + b + c = 10 $. Queremos maximizar $ P = abc $.
Para simplificar, podemos expressar $ c = 10 - a - b $ e substituir na expressão do produto:
f(x, y)
Observa que essa função $ P $ é exatamente a função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $, onde $ x = a $ e $ y = b $.

Passo 13

Portanto, os extremos da função $ f(x, y) $ nos ajudam a resolver o problema de otimização original. Especificamente, o máximo local em $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $ nos dá os valores de $ a $ e $ b $ que maximizam o produto $ abc $.

Resposta

Os extremos locais da função $ f(x, y) = 10xy - x^2y - xy^2 $ são:
  • Pontos de sela em $ (0, 0) $, $ (10, 0) $ e $ (0, 10) $.
  • Máximo local em $ \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) $.
Isso está relacionado ao problema de otimização de escolher três números cuja soma seja 10 e que seu produto seja máximo, sendo $ a = b = \frac{10}{3} $ e $ c = \frac{10}{3} $ os valores que maximizam o produto $ abc $.

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