Resolva para x \in \mathbb{R} :
\left(x^{1 / 3}-2\right)^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem
\bigl(x^{1/3}-2\bigr)^{2}=9.
O conteúdo aqui é resolver uma equação envolvendo potência fracionária (raiz cúbica) e quadrado. Vamos usar a propriedade de que, para todo número real A, se A^{2}=9 então A=\pm3.

Passo 2

Aplicando essa propriedade com
A = x^{1/3}-2,
temos
x^{1/3}-2 = \pm 3.

Passo 3

Resolvendo as duas equações separadamente:
Caso 1:
x^{1/3}-2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^{1/3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 5^{3} = 125.
Caso 2:
x^{1/3}-2 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^{1/3} = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = (-1)^{3} = -1.

Passo 4

Verificamos cada solução no original:
Para x=125:
\bigl(125^{1/3}-2\bigr)^{2}=(5-2)^{2}=3^{2}=9.
Para x=-1:
\bigl((-1)^{1/3}-2\bigr)^{2}=(-1-2)^{2}=(-3)^{2}=9.
Ambas satisfazem a equação.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 125 \quad\text{e}\quad x = -1.

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