Resolva: x_{n+1}=x_{n}+n
x_{1}=0

Passo 1

O enunciado dá a recorrência e o valor inicial. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
x_{n+1}=x_{n}+n
x_{1}=0
Pergunta implícita: encontrar uma expressão fechada (fórmula explícita) para x_{n} em função de n.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para sentir o padrão (isso ajuda muito na prova, é tipo “experimentar antes de provar”):
x_{1}=0
x_{2}=x_{1}+1=0+1=1
x_{3}=x_{2}+2=1+2=3
x_{4}=x_{3}+3=3+3=6
x_{5}=x_{4}+4=6+4=10
Observação divertida: os valores 0,1,3,6,10,\dots são os números triangulares. Parece que x_{n} é a soma dos inteiros de 1 até n-1.

Passo 3

Agora transformamos a recorrência em uma soma. Escrevo a relação para índices consecutivos e somo:
Para cada k=1,2,\dots,n-1 vale
x_{k+1}-x_{k}=k.
Somando essas igualdades para k de 1 até n-1 obtemos
\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(x_{k+1}-x_{k}\bigr)=\sum_{k=1}^{n-1}k.
No lado esquerdo a soma é telescópica (os termos intermediários se cancelam). Ou seja,
x_{n}-x_{1}=\sum_{k=1}^{n-1}k.
Como x_{1}=0, temos
x_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k.

Passo 4

Precisamos agora de uma fórmula para a soma dos primeiros m inteiros. Vou explicar bem a forma mais clássica (método de Gauss, fácil de lembrar):
Seja S=\sum_{k=1}^{m}k=1+2+\dots+m. Escrevendo ao contrário também:
S=m+(m-1)+\dots+1.
Somando termo a termo:
2S=(m+1)+(m+1)+\dots+(m+1)=m(m+1).
Portanto
S=\frac{m(m+1)}{2}.
Aqui aplicamos com m=n-1. Assim
\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)\,n}{2}.

Passo 5

Substituindo no resultado do Passo 3 obtemos a fórmula fechada:
x_{n}=\frac{(n-1)\,n}{2}.
Essa é a expressão dos números triangulares, confirmando a observação dos primeiros termos.

Passo 6

(Verificação por indução rápida para dar segurança — ótimo para a prova)
Base n=1: \displaystyle x_{1}=\frac{(1-1)\cdot 1}{2}=0, ok.
Passo indutivo: suponha \displaystyle x_{n}=\frac{(n-1)n}{2}. Então
x_{n+1}=x_{n}+n=\frac{(n-1)n}{2}+n=\frac{(n-1)n+2n}{2}=\frac{n(n+1)}{2},
que é a fórmula com n substituído por n+1. Logo vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

x_{n}=\frac{n(n-1)}{2}

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