Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a recorrência e o valor inicial. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
Pergunta implícita: encontrar uma expressão fechada (fórmula explícita) para
em função de
.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para sentir o padrão (isso ajuda muito na prova, é tipo “experimentar antes de provar”):
Observação divertida: os valores
são os números triangulares. Parece que
é a soma dos inteiros de
até
.
Passo 3
Agora transformamos a recorrência em uma soma. Escrevo a relação para índices consecutivos e somo:
Para cada vale
Para cada
Somando essas igualdades para
de
até
obtemos
No lado esquerdo a soma é telescópica (os termos intermediários se cancelam). Ou seja,
Como
, temos
Passo 4
Precisamos agora de uma fórmula para a soma dos primeiros
inteiros. Vou explicar bem a forma mais clássica (método de Gauss, fácil de lembrar):
Seja . Escrevendo ao contrário também:
Seja
Somando termo a termo:
Portanto
Aqui aplicamos com
. Assim
Passo 5
Substituindo no resultado do Passo 3 obtemos a fórmula fechada:
Essa é a expressão dos números triangulares, confirmando a observação dos primeiros termos.
Passo 6
(Verificação por indução rápida para dar segurança — ótimo para a prova)
Base :
, ok.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
que é a fórmula com
substituído por
. Logo vale para todo
.