Determine as seguintes inversas das funções abaixo
a) f(x)=3 x+1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inversa da função dada. A informação fornecida é:
f(x)=3x+1.
A pergunta específica é: qual é a função f^{-1} tal que, aplicando f depois de f^{-1} (ou vice-versa), a gente recupere o valor original?

Passo 2

O que significa “inversa” na prática? Uma função g é a inversa de f se, para todo x no domínio adequado, valem as duas igualdades
f(g(x))=x
e
g(f(x))=x.
Na prova você pode mostrar que uma candidata é realmente a inversa verificando essas composições.

Passo 3

Método prático e algébrico para encontrar a inversa (muito usado em prova):
  1. escrevemos y=f(x); 2) trocamos x e y; 3) resolvemos a equação resultante para y. Vou fazer isso passo a passo.
Começo colocando
y=3x+1.

Passo 4

Agora troco x por y e y por x. Isso representa “inverter” os papéis de entrada e saída:
x=3y+1.

Passo 5

Isolo y na equação x=3y+1. Primeiro subtraio 1 dos dois lados:
x-1=3y.
Em seguida divido por 3 ambos os lados para deixar y sozinho:
y=\frac{x-1}{3}.

Passo 6

Concluímos que a expressão da inversa, em termos da variável de entrada (normalmente chamada de x na função inversa), é
f^{-1}(x)=\frac{x-1}{3}.

Passo 7

Verificação rápida por composição (útil na prova para ganhar pontos extras):
Calculo f(f^{-1}(x)):
f\!\left(\frac{x-1}{3}\right)=3\cdot\frac{x-1}{3}+1=(x-1)+1=x.
Calculo f^{-1}(f(x)):
f^{-1}(3x+1)=\frac{(3x+1)-1}{3}=\frac{3x}{3}=x.
As duas composições retornam x, logo a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 8

Observação sobre domínio e imagem (útil na prova): f(x)=3x+1 é definida para todo x\in\mathbb{R} e tem imagem \mathbb{R} (reta), porque é uma afim com coeficiente angular 3\neq0. Portanto f^{-1} também é definida em \mathbb{R} e tem imagem \mathbb{R}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}

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