Determine as seguintes inversas das funções abaixo
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a inversa da função dada. A informação fornecida é:
A pergunta específica é: qual é a função
tal que, aplicando
depois de
(ou vice-versa), a gente recupere o valor original?
Passo 2
O que significa “inversa” na prática? Uma função
é a inversa de
se, para todo
no domínio adequado, valem as duas igualdades
e
Na prova você pode mostrar que uma candidata é realmente a inversa verificando essas composições.
Passo 3
Método prático e algébrico para encontrar a inversa (muito usado em prova):
- escrevemos
; 2) trocamos e ; 3) resolvemos a equação resultante para . Vou fazer isso passo a passo.
Começo colocando
Passo 4
Agora troco
por
e
por
. Isso representa “inverter” os papéis de entrada e saída:
Passo 5
Isolo
na equação
. Primeiro subtraio
dos dois lados:
Em seguida divido por
ambos os lados para deixar
sozinho:
Passo 6
Concluímos que a expressão da inversa, em termos da variável de entrada (normalmente chamada de
na função inversa), é
Passo 7
Verificação rápida por composição (útil na prova para ganhar pontos extras):
Calculo :
Calculo
Calculo
:
As duas composições retornam
, logo a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 8
Observação sobre domínio e imagem (útil na prova):
é definida para todo
e tem imagem
(reta), porque é uma afim com coeficiente angular
. Portanto
também é definida em
e tem imagem
.