Determine as seguintes inversas das funções abaixo
d) f(x)=\frac{x^{3}+8}{x+1}

Passo 1

Enunciado: determinar a(s) inversa(s) da função
f(x)=\frac{x^{3}+8}{x+1}.
O que se pede: encontrar f^{-1}, ou seja, expressar x em termos de y quando y=f(x). Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função }f(x)=\frac{x^{3}+8}{x+1},\qquad x\neq -1.çã
Nada mais é fornecido (não há restrição explícita de domínio além de x\neq -1).

Passo 2

Domínio e observação inicial sobre inversibilidade. Primeiro identificamos o domínio natural:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}
porque o denominador x+1 não pode ser zero.
Para que exista uma inversa global (função única definida para todo o contradomínio), f teria que ser injetora (monótona) em todo o domínio. Vamos checar a monotonicidade calculando a derivada — isso também serve como revisão rápida da regra do quociente.
Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=x^3+8 e v(x)=x+1. Então
u'(x)=3x^2,\qquad v'(x)=1,
e portanto
f'(x)=\frac{3x^2(x+1)-(x^3+8)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{2x^3+3x^2-8}{(x+1)^2}.
O denominador (x+1)^2 é sempre positivo (exceto em x=-1 que está fora do domínio), então o sinal de f'(x) é o sinal do polinômio
g(x)=2x^3+3x^2-8.
Avaliações rápidas:
g(1)=2+3-8=-3<0,\qquad g(2)=16+12-8=20>0.
Logo g(x) muda de sinal (há pelo menos uma raiz real entre 1 e 2), o que implica que f'(x) muda de sinal: f não é monotônica em todo o domínio. Conclusão importante: f não é injetora em \mathbb{R}\setminus\{-1\}, portanto não tem uma inversa global única sem que se restrinja o domínio. Na prática, quando pedem “determine a inversa”, frequentemente querem que a gente resolva a equação y=f(x) e escreva as expressões que dão as pré-imagens (pode haver uma ou três soluções reais). Vamos seguir resolvendo y=f(x) para obter as fórmulas das pré-imagens (as “inversas” como relação).

Passo 3

Escrevendo a equação y=f(x) e transformando em uma equação polinomial. Colocamos y=\dfrac{x^3+8}{x+1}. Multiplicando os dois lados por x+1 (lembrando que x\neq -1):
y(x+1)=x^3+8.
Expandindo e recolhendo termos para ter um polinômio em x:
yx + y = x^3 + 8
\Rightarrow x^3 - yx + (8-y)=0.
Portanto, para um dado valor y (valor de saída de f), os valores de x que mapeiam para esse y são as raízes da cúbica
x^3 - yx + (8-y)=0.
Nossa meta é resolver essa cúbica para x em termos de y. Toda cúbica tem pelo menos uma raiz real, então para qualquer y\in\mathbb{R} existe pelo menos um x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} tal que f(x)=y; isso diz que a relação inversa é sobrejetora (cada y tem pelo menos uma pré-imagem), mas pode haver até três pré-imagens reais dependendo dos parâmetros.

Passo 4

Método para resolver a cúbica: Cardano (explicação didática). Vou apresentar o método passo a passo de forma explícita — é o método padrão para resolver equações do tipo
t^{3}+pt+q=0.
A ideia é escrever nossa cúbica nessa forma e aplicar a fórmula de Cardano. Para a nossa cúbica, compare
x^{3}-yx+(8-y)=0
com t^{3}+pt+q=0. Temos
p=-y,\qquad q=8-y.
No método de Cardano definimos o discriminante auxiliar
\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}.
Seja claro sobre o que cada símbolo significa:
  • p e q são os coeficientes da cúbica reduzida t^{3}+pt+q.
  • \Delta controla o caráter das raízes: se \Delta>0 há uma raiz real (e duas complexas conjugadas); se \Delta=0 há múltiplas raízes reais; se \Delta<0 há três raízes reais distintas (casus irreducibilis).
Substituindo p e q em \Delta:
\Delta=\left(\frac{8-y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-y}{3}\right)^{3} =\frac{(8-y)^2}{4}-\frac{y^3}{27}.

Passo 5

Fórmula explícita (Cardano) para uma solução (a solução “principal” em termos de raízes cúbicas). Para t^{3}+pt+q=0 uma solução é
t=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}.
Aplicando isso à nossa cúbica (substituindo p=-y, q=8-y) obtemos, em termos de y,
x=\sqrt[3]{-\frac{8-y}{2}+\sqrt{\frac{(8-y)^2}{4}-\frac{y^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac{8-y}{2}-\sqrt{\frac{(8-y)^2}{4}-\frac{y^3}{27}}}.
Note que podemos simplificar o sinal dentro das cúbicas usando -\dfrac{8-y}{2}=\dfrac{y-8}{2}. Portanto
x=\sqrt[3]{\frac{y-8}{2}+\sqrt{\frac{(8-y)^2}{4}-\frac{y^3}{27}}} +\sqrt[3]{\frac{y-8}{2}-\sqrt{\frac{(8-y)^2}{4}-\frac{y^3}{27}}}.
Isto fornece, para cada y, uma expressão que dá uma raiz (real) da cúbica — essa é a expressão típica da fórmula de Cardano. Dependendo do sinal de \Delta essa expressão pode dar a única raiz real (quando \Delta\ge 0) ou uma das três raízes reais (quando \Delta<0 as cúbicas envolvidas são complexas e a soma resulta em um valor real; nesse caso as outras duas raízes reais podem ser obtidas por multiplicar convenientemente as raízes cúbicas por raízes cúbicas da unidade e somar, ou usar a fórmula trigonométrica).

Passo 6

Interpretação prática e observação sobre multivalidade. Resumindo:
  • A equação y=f(x) é equivalente à cúbica x^3-yx+(8-y)=0.
  • Aplicando Cardano obtemos a expressão explicitada no passo anterior que fornece uma (aqui escrita como) inversa em termos de y.
  • Como vimos no Passo 2, f não é injetora no domínio inteiro, então a “inversa” é, em geral, multivalorada: para certos y haverá três x reais distintos; para outros y haverá uma única x real (e duas complexas). Se for necessário obter uma função inversa única, deve-se restringir o domínio de f a um intervalo onde f seja monótona (por exemplo, entre raízes de g(x)=2x^3+3x^2-8 etc.), e então a fórmula de Cardano aplicada dará a única raiz correspondente naquela restrição.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-8}{2}+\sqrt{\frac{(8-x)^2}{4}-\frac{x^3}{27}}} +\sqrt[3]{\frac{x-8}{2}-\sqrt{\frac{(8-x)^2}{4}-\frac{x^3}{27}}}

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