Resolva:
pelo MFI.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução
:
Informações explícitas que vamos usar (retiradas do enunciado):
- A incógnita é a função
. - O termo que multiplica
é . - O termo do lado direito é
.
O objetivo: encontrar a solução geral.
Passo 2
Ideia do método do fator integrante (MFI) — curta aula prática.
- Para uma equação da forma
construímos o fator integrante por
- A razão é que multiplicando a equação por
a esquerda fica a derivada do produto :
- Assim obtemos
e integramos: . Depois isolamos .
Vou aplicar passo a passo com.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
- Primeiro a integral de
:
- Substituição padrão: seja
, então ou . Assim
- Tomando a constante zero dentro do expoente do fator integrante, obtemos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e transformar em derivada exata.
- Multiplicando:
- Pela construção
, então a esquerda é
- Vamos escrever
explicitamente. Lembre-se e . Logo
- Assim temos a integral a calcular:
Passo 5
Calcular a integral
com substituição apropriada.
- Use
. Então , isto é . - Também
. Reescrevendo o integrando:
- Substituindo
obtemos
- Portanto a integral é simples:
- Integrando,
- Voltando à variável
com :
Passo 6
Isolar
dividindo por
e simplificar exponenciais.
- Dividindo:
- Simplificando os expoentes (subtrai-se
do expoente do numerador):
onde
é a constante arbitrária de integração.