Resolva:
x^{\prime}+e^{t^{2}} t x=t \exp \left(e^{t^{2}}\right) e^{t^{2}} pelo MFI.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução x(t):
x^{\prime}+e^{t^{2}} t\, x = t \exp\left(e^{t^{2}}\right) e^{t^{2}}.
Informações explícitas que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • A incógnita é a função x(t).
  • O termo que multiplica x é p(t)=t e^{t^{2}}.
  • O termo do lado direito é q(t)=t\,\exp\!\left(e^{t^{2}}\right)\,e^{t^{2}} = t\exp\!\big(e^{t^{2}}+t^{2}\big).
    O objetivo: encontrar a solução geral x(t).

Passo 2

Ideia do método do fator integrante (MFI) — curta aula prática.
  • Para uma equação da forma \;x'+p(t)x=q(t)\; construímos o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • A razão é que multiplicando a equação por \mu(t) a esquerda fica a derivada do produto \mu x:
(\mu x)'=\mu x'+\mu' x=\mu\big(x'+p x\big).
  • Assim obtemos (\mu x)'=\mu q e integramos: \mu x=\int \mu q\,dt + C. Depois isolamos x.
    Vou aplicar passo a passo com p(t)=t e^{t^{2}}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
  • Primeiro a integral de p(t):
\int p(t)\,dt=\int t e^{t^{2}}\,dt.
  • Substituição padrão: seja s=t^{2}, então ds=2t\,dt ou t\,dt=\tfrac{1}{2}ds. Assim
\int t e^{t^{2}}\,dt=\int e^{s}\cdot \tfrac{1}{2}\,ds=\tfrac{1}{2}e^{s}+\text{const}=\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}+\text{const}.
  • Tomando a constante zero dentro do expoente do fator integrante, obtemos
\mu(t)=\exp\!\left(\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\right).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t) e transformar em derivada exata.
  • Multiplicando:
\mu\big(x'+p x\big)=\mu q.
  • Pela construção \mu' = p\mu, então a esquerda é
(\mu x)'=\mu q.
  • Vamos escrever \mu q explicitamente. Lembre-se q(t)=t\exp\!\big(e^{t^{2}}+t^{2}\big) e \mu=\exp\!\big(\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\big). Logo
\mu q = t\,\exp\!\Big(\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\Big)\exp\!\big(e^{t^{2}}+t^{2}\big)=t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}+t^{2}\Big).
  • Assim temos a integral a calcular:
\mu x=\int \mu q\,dt = \int t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}+t^{2}\Big)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}+t^{2}\Big)\,dt com substituição apropriada.
  • Use u=e^{t^{2}}. Então du=2t e^{t^{2}}\,dt=2t u\,dt, isto é t\,dt=\dfrac{du}{2u}.
  • Também t^{2}=\ln u. Reescrevendo o integrando:
t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}+t^{2}\Big)\,dt = t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u+\ln u\Big)\,dt = t\,u\,\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\,dt.
  • Substituindo t\,dt=\dfrac{du}{2u} obtemos
t\,u\,\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\,dt = u\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\cdot \dfrac{du}{2u} = \dfrac{1}{2}\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\,du.
  • Portanto a integral é simples:
\int t\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}+t^{2}\Big)\,dt = \dfrac{1}{2}\int \exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\,du.
  • Integrando,
\dfrac{1}{2}\int \exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)\,du = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big) + C = \dfrac{1}{3}\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}u\Big)+C.
  • Voltando à variável t com u=e^{t^{2}}:
\mu x = \dfrac{1}{3}\exp\!\Big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}\Big) + C.

Passo 6

Isolar x(t) dividindo por \mu(t)=\exp\!\big(\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\big) e simplificar exponenciais.
  • Dividindo:
x(t)=\frac{\dfrac{1}{3}\exp\!\big(\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}\big)+C}{\exp\!\big(\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\big)}.
  • Simplificando os expoentes (subtrai-se \tfrac{1}{2}e^{t^{2}} do expoente do numerador):
x(t)=\dfrac{1}{3}\exp\!\big(e^{t^{2}}\big) + C\exp\!\Big(-\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\Big),
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

x(t)=\dfrac{1}{3}\exp\!\big(e^{t^{2}}\big) + C\exp\!\Big(-\tfrac{1}{2}e^{t^{2}}\Big)

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