Resolva
pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Temos o sistema não‐homogêneo
, onde
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes usando variação de parâmetros (ou coeficientes indeterminados) para achar a parte particular.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos
Procuramos autovalores de
$$\det(A-\lambda I)=0;
\Rightarrow;\det
=0
;
\Rightarrow;( -1-\lambda )(4-\lambda)+6=0
;
\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+2=0
;
\Rightarrow(\lambda-1)(\lambda-2)=0,
;
\Rightarrow;( -1-\lambda )(4-\lambda)+6=0
;
\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+2=0
;
\Rightarrow(\lambda-1)(\lambda-2)=0,
$$
logo ,
.
logo
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor:
Para :
Para
uma escolha é
Para
uma escolha é
Assim a solução homogênea geral é
Assim a solução homogênea geral é
Passo 4
Para achar uma solução particular usamos variação de parâmetros na forma de coeficientes indeterminados: suponha
onde
temos
Igualando:
Passo 5
Agora montamos e invertemos
Logo
$$K=(4I-A)^{-1}B=
=
.$$
Passo 6
Portanto a solução geral do sistema é a soma da parte homogênea com a parte particular:
Resposta
X(t)=C_1
e{t}+C_2\begin{pmatrix}2\-3\end{pmatrix}e{2t}+
e^{4t}