Resolva X^prime=[cc-1 & -2 3 & 4] X+[l2 4] e^4 t pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Temos o sistema não‐homogêneo X'=AX+B,e^4t, onde
A=-1 & -23 & 4, B=24
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes usando variação de parâmetros (ou coeficientes indeterminados) para achar a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
X'=AX
Procuramos autovalores de A pela equação característica
$$\det(A-\lambda I)=0;
\Rightarrow;\det det(A-lambda I)=0; Rightarrow;det-1-lambda & -23 & 4-lambda=0 ; Rightarrow;( -1-lambda )(4-lambda)+6=0 ; Rightarrowlambda^2-3lambda+2=0 ; Rightarrow(lambda-1)(lambda-2)=0, =0
;
\Rightarrow;( -1-\lambda )(4-\lambda)+6=0
;
\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+2=0
;
\Rightarrow(\lambda-1)(\lambda-2)=0,
$$
logo lambda1=1, lambda2=2.

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor:
Para lambda1=1:
(A-I)v=0;Rightarrow;-2 & -23 & 3v=0
uma escolha é v1=1-1
Para lambda2=2:
(A-2I)v=0;Rightarrow;-3 & -23 & 2v=0
uma escolha é v2=2-3
Assim a solução homogênea geral é
Xh(t)=C1,v1,e^t+C2,v2,e^2t

Passo 4

Para achar uma solução particular usamos variação de parâmetros na forma de coeficientes indeterminados: suponha
Xp(t)=K,e^4t,
onde K é um vetor constante a determinar. Substituindo em
X'=AX+B,e^4t,
temos
Xp'=4K,e^4t,
AXp+B,e^4t=A(K,e^4t)+B,e^4t=(AK+B)e^4t
Igualando:
4K,e^4t=(AK+B)e^4tRightarrow(4I-A)K=B

Passo 5

Agora montamos e invertemos
4I-A=4+1 & 2-3 & 4-4=5 & 2-3 & 0,
det(4I-A)=5cdot0-2(-3)=6,
(4I-A)^-1=160 & -23 & 5=0 & -tfrac13tfrac12 & tfrac56
Logo
$$K=(4I-A)^{-1}B= K=(4I-A)^-1B=0 & -tfrac13tfrac12 & tfrac5624 =-tfrac43tfrac133
= .$$

Passo 6

Portanto a solução geral do sistema é a soma da parte homogênea com a parte particular:
X(t)=C11-1e^t+C22-3e^2t+-tfrac43tfrac133e^4t

Resposta

X(t)=C_1 1-1e{t}+C_2\begin{pmatrix}2\-3\end{pmatrix}e{2t}+ 2-3e^{4t}

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