1- Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''-x y'+6y=0.
Informações dadas e o que se busca:
  • É uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (duas integrais independentes envolvendo constantes arbitrárias).
  • Para manipulações com \ln x que aparecerão, trabalhar em x>0 torna as expressões mais simples (mais abaixo indico como estender para x<0 quando apropriado).

Passo 2

Experiência comum com equações desse tipo sugere tentar uma solução da forma
y(x)=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que isso é uma boa ideia: se y=x^{m}, as derivadas são fáceis de calcular e têm potências de x semelhantes, o que permite fatorar x^{m} e obter uma equação algébrica para m.
Calcule as derivadas de y(x)=x^{m}:
y'(x)=m x^{m-1},
y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)-x\bigl(m x^{m-1}\bigr)+6x^{m}=0.

Passo 3

Fatore x^{m} da expressão (para x\neq0):
x^{m}\bigl(m(m-1)-m+6\bigr)=0.
Como x^{m}\neq0 para x\neq0, obtemos a equação característica para m:
m(m-1)-m+6=0.
Simplificando o polinômio:
m^{2}-m-m+6=m^{2}-2m+6=0.
Agora resolvemos a quadrática
m^{2}-2m+6=0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot6=4-24=-20.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
m=\frac{2\pm\sqrt{-20}}{2}=1\pm i\sqrt{5}.

Passo 4

Temos raízes complexas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=1 e \beta=\sqrt{5}. Vou explicar como passar de x^{\alpha\pm i\beta} para soluções reais.
Comece com as soluções formais complexas
y_{1}=x^{1+i\sqrt{5}},\qquad y_{2}=x^{1-i\sqrt{5}}.
Reescrevendo x^{1\pm i\sqrt{5}} usando propriedades de exponenciais:
x^{1\pm i\sqrt{5}}=x^{1}\,x^{\pm i\sqrt{5}}=x\,e^{\pm i\sqrt{5}\ln x}.
Por Euler, e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Então as partes reais e imaginárias de x\,e^{i\sqrt{5}\ln x} dão duas soluções reais independentes:
x\cos\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr)\quad\text{e}\quad x\sin\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr).
Explicando de forma bem clara: qualquer combinação linear complexa dos y_1,y_2 pode ser reescrita como combinação linear real das funções acima; por isso a solução geral real da equação homogênea é
y(x)=x\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Observação prática: se for necessário permitir x<0, troca-se \ln x por \ln|x| e usa-se |x|^{1} no lugar de x; assim obtém-se a forma com \ln|x|. Para a prova, normalmente tomar x>0 é suficiente.

Passo 5

Resumo do raciocínio em poucas linhas (para você decorar o método na hora da prova):
  • Tenta y=x^{m}, calcula y',y'' e obtém a equação característica polinomial para m.
  • Resolve a quadrática; se as raízes forem complexas \alpha\pm i\beta, a solução geral real é
y(x)=x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
  • No caso presente \alpha=1 e \beta=\sqrt{5}, levando à solução escrita abaixo.

Resposta

y(x)=x\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\sqrt{5}\ln x\bigr)\Bigr)

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