1- Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+6 y=0
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+6 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se busca:
- É uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de
. - O objetivo é encontrar a solução geral
(duas integrais independentes envolvendo constantes arbitrárias). - Para manipulações com
que aparecerão, trabalhar em torna as expressões mais simples (mais abaixo indico como estender para quando apropriado).
Passo 2
Experiência comum com equações desse tipo sugere tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que isso é uma boa ideia: se
, as derivadas são fáceis de calcular e têm potências de
semelhantes, o que permite fatorar
e obter uma equação algébrica para
.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Fatore
da expressão (para
):
Como
para
, obtemos a equação característica para
:
Simplificando o polinômio:
Agora resolvemos a quadrática
O discriminante é
Como
, as raízes são complexas:
Passo 4
Temos raízes complexas
com
e
. Vou explicar como passar de
para soluções reais.
Comece com as soluções formais complexas
Reescrevendo
usando propriedades de exponenciais:
Por Euler,
. Então as partes reais e imaginárias de
dão duas soluções reais independentes:
Explicando de forma bem clara: qualquer combinação linear complexa dos
pode ser reescrita como combinação linear real das funções acima; por isso a solução geral real da equação homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Observação prática: se for necessário permitir
, troca-se
por
e usa-se
no lugar de
; assim obtém-se a forma com
. Para a prova, normalmente tomar
é suficiente.
Passo 5
Resumo do raciocínio em poucas linhas (para você decorar o método na hora da prova):
- Tenta
, calcula e obtém a equação característica polinomial para . - Resolve a quadrática; se as raízes forem complexas
, a solução geral real é
- No caso presente
e , levando à solução escrita abaixo.