1- Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+9 y=0
x^{2} y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+9 y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é definida para
(pois aparecem potências de dividindo se colocarmos em forma padrão). - Precisa-se encontrar a família de soluções
(solução geral com constantes arbitrárias).
Passo 2
Vamos escolher uma tentativa natural para equações cujos coeficientes são potências de
: tentar uma solução do tipo
onde
é um número a determinar. Vou explicar por que: quando se assume
, as derivadas trazem potências de
compatíveis com os coeficientes
e
, permitindo reduzir a equação a um polinômio em
.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação dada:
Agora fatoramos
(como
, etc.):
Como
para
, obtemos a equação característica em
:
Passo 3
Simplificando a equação característica:
Reconhece-se que isso é um quadrado perfeito:
Portanto há uma raiz dupla
Passo 4
Interpretação prática: para raízes distintas
e
a solução geral seria
No caso de raiz dupla
, a segunda solução independente não é simplesmente
de novo; é conhecida a forma (ou pode ser obtida por redução de ordem) de que a segunda solução é
. Vou mostrar a dedução por redução de ordem para ficar bem claro.
Tomemos
(uma solução já encontrada). Procura-se
com
a determinar. Para isso é útil escrever a equação em forma padrão dividindo por
:
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação (e lembrando que
satisfaz a equação), os termos com
multiplicando a equação de
cancelam, sobrando
Defina
. Então
Dividindo por
obtemos uma equação linear em
:
Como
, tem-se
Logo
A equação para
fica
Essa é separável / linear de 1ª ordem. Resolvend0:
Agora
, integramos:
Portanto
Desprezando a parte
que é proporcional a
, a nova solução linearmente independente é
Passo 5
Assim a base de soluções é
. A solução geral, com constantes arbitrárias
, é
válida para
. Observação: usa-se
para cobrir tanto
quanto
.