1- Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^{2}y''+7x y'+9y=0.
Informações dadas:
  • A equação é definida para x\neq0 (pois aparecem potências de x dividindo se colocarmos em forma padrão).
  • Precisa-se encontrar a família de soluções y(x) (solução geral com constantes arbitrárias).

Passo 2

Vamos escolher uma tentativa natural para equações cujos coeficientes são potências de x: tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número a determinar. Vou explicar por que: quando se assume y=x^{m}, as derivadas trazem potências de x compatíveis com os coeficientes x^{2} e x, permitindo reduzir a equação a um polinômio em m.
Calcule as derivadas de y=x^{m}:
y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação dada:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big) + 7x\big(m x^{m-1}\big) + 9\big(x^{m}\big)=0.
Agora fatoramos x^{m} (como x^{m-2}\cdot x^{2}=x^{m}, etc.):
x^{m}\big(m(m-1)+7m+9\big)=0.
Como x^{m}\neq0 para x\neq0, obtemos a equação característica em m:
m(m-1)+7m+9=0.

Passo 3

Simplificando a equação característica:
m^{2}-m+7m+9 = m^{2}+6m+9 =0.
Reconhece-se que isso é um quadrado perfeito:
m^{2}+6m+9=(m+3)^{2}=0.
Portanto há uma raiz dupla
m=-3\quad\text{(raiz de multiplicidade 2).}

Passo 4

Interpretação prática: para raízes distintas m_{1} e m_{2} a solução geral seria
y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.
No caso de raiz dupla m=-3, a segunda solução independente não é simplesmente x^{-3} de novo; é conhecida a forma (ou pode ser obtida por redução de ordem) de que a segunda solução é x^{m}\ln|x|. Vou mostrar a dedução por redução de ordem para ficar bem claro.
Tomemos y_{1}=x^{-3} (uma solução já encontrada). Procura-se y_{2}=v(x)\,y_{1} com v a determinar. Para isso é útil escrever a equação em forma padrão dividindo por x^{2}:
y''+\frac{7}{x}y'+\frac{9}{x^{2}}y=0.
Calcule as derivadas de y_{2}:
y_{2}'=v'y_{1}+v y_{1}',\qquad y_{2}''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
Substituindo na equação (e lembrando que y_{1} satisfaz a equação), os termos com v multiplicando a equação de y_{1} cancelam, sobrando
v''y_{1}+v'\big(2y_{1}'+\tfrac{7}{x}y_{1}\big)=0.
Defina w=v'. Então
w' y_{1}+w\big(2y_{1}'+\tfrac{7}{x}y_{1}\big)=0.
Dividindo por y_{1} obtemos uma equação linear em w:
w'+w\Big(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{7}{x}\Big)=0.
Como y_{1}=x^{-3}, tem-se
\frac{y_{1}'}{y_{1}}=\frac{-3x^{-4}}{x^{-3}}=-\frac{3}{x}.
Logo
2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{7}{x}=-\frac{6}{x}+\frac{7}{x}=\frac{1}{x}.
A equação para w fica
w'+\frac{1}{x}w=0.
Essa é separável / linear de 1ª ordem. Resolvend0:
\frac{w'}{w}=-\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln|w|=-\ln|x|+C_{1}\quad\Rightarrow\quad w=\frac{C_{1}}{x}.
Agora v' = w = C_{1}/x, integramos:
v=C_{1}\ln|x|+C_{2}.
Portanto
y_{2}=v y_{1}=(C_{1}\ln|x|+C_{2})x^{-3}.
Desprezando a parte C_{2}x^{-3} que é proporcional a y_{1}, a nova solução linearmente independente é
x^{-3}\ln|x|.

Passo 5

Assim a base de soluções é \{x^{-3},\,x^{-3}\ln|x|\}. A solução geral, com constantes arbitrárias C_{1},C_{2}, é
y(x)=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{-3}\ln|x|,
válida para x\neq0. Observação: usa-se \ln|x| para cobrir tanto x>0 quanto x<0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{-3}\ln|x|

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