Resolva
Passo 1
Temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é equação homogênea de grau 1 em
, pois
e
são ambos homogêneos de grau 1. Para resolver, vamos usar a substituição típica para equações homogêneas:
.
Passo 2
Fazendo
, temos
. Além disso
Passo 3
Substituindo em
dá
Passo 4
Expandindo e agrupando termos em
e
:
Passo 5
Divide por
(assumindo
) e simplifica:
Passo 6
Reescrevendo o coeficiente de
:
. Logo
Passo 7
Integramos agora cada termo separadamente:
Passo 8
Para o segundo integral usamos frações parciais. Multiplicando numerador e denominador por 2 obtemos
Passo 9
Decompondo
logo
Passo 10
Juntando tudo, a integral completa dá
Passo 11
Por fim, voltamos à variável original
.
Resposta
\displaystyle \ln|x| + \tfrac12\ln\bigl(4(y/x)^2 + 7(y/x) + 5\bigr) - \tfrac{3}{\sqrt{31}}\arctan!
\Bigl(\tfrac{8(y/x)+7}{\sqrt{31}}\Bigr) = C
\Bigl(\tfrac{8(y/x)+7}{\sqrt{31}}\Bigr) = C