Resolva
5.2(x+y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial tfrac52(x+y),dx + (x+2y),dy = 0. O conteúdo aqui é equação homogênea de grau 1 em (x,y), pois M(x,y)=tfrac52(x+y) e N(x,y)=x+2y são ambos homogêneos de grau 1. Para resolver, vamos usar a substituição típica para equações homogêneas: y=vx.

Passo 2

Fazendo y=vx, temos dy = v,dx + x,dv. Além disso
x+y = x(1+v), x+2y = x(1+2v)

Passo 3

Substituindo em tfrac52(x+y),dx + (x+2y),dy = 0
tfrac52,x(1+v),dx + x(1+2v)(v,dx + x,dv)=0

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em dx e dv:
l(tfrac52(1+v)+v(1+2v)r)x,dx + x^2(1+2v),dv = 0

Passo 5

Divide por x^2 (assumindo xneq0) e simplifica:
l(tfrac52+tfrac52v+v+2v^2r)dxx + (1+2v),dv = 0

Passo 6

Reescrevendo o coeficiente de dx/x: tfrac52+tfrac52v+v+2v^2 = 2v^2+tfrac72v+tfrac52. Logo
dxx + 1+2v2v^2+tfrac72v+tfrac52,dv = 0

Passo 7

Integramos agora cada termo separadamente:
integraldxx + integral1+2v2v^2+tfrac72v+tfrac52,dv = 0

Passo 8

Para o segundo integral usamos frações parciais. Multiplicando numerador e denominador por 2 obtemos
integral2+4v4v^2+7v+5,dv

Passo 9

Decompondo
2+4v = tfrac12(8v+7) - tfrac32,
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integral2+4v4v^2+7v+5,dv = 12lnl(4v^2+7v+5r) - 3raiz31arctanl(8v+7raiz31r) + C

Passo 10

Juntando tudo, a integral completa dá
ln|x| + 12lnl(4v^2+7v+5r) - 3raiz31arctanl(8v+7raiz31r) = C

Passo 11

Por fim, voltamos à variável original y/x = v.

Resposta

\displaystyle \ln|x| + \tfrac12\ln\bigl(4(y/x)^2 + 7(y/x) + 5\bigr) - \tfrac{3}{\sqrt{31}}\arctan!
\Bigl(\tfrac{8(y/x)+7}{\sqrt{31}}\Bigr) = C

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