Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
integral x raizx+1 d x

Passo 1

Temos que calcular a integral integral xraizx+1,dx usando a técnica de integração por partes. O conteúdo da matéria é integração por partes, e vamos usar a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Precisamos escolher funções u e dv. Uma escolha eficaz é u = x e dv = raizx+1,dx, pois a derivada de x é simples e ao integrar raizx+1 obtemos uma potência.
Derivando u temos du = dx. Para achar v, calculamos:
v = integral raizx+1,dx = integral (x+1)^1/2,dx
Fazendo a substituição t = x+1, dt = dx, obtemos:
v = 23(x+1)^3/2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral xraizx+1,dx = u v - integral v,du = xcdot 23(x+1)^3/2 - integral 23(x+1)^3/2,dx

Passo 4

Falta resolver a integral integral (x+1)^3/2,dx. Usando t = x+1, temos:
integral (x+1)^3/2,dx = 25(x+1)^5/2

Passo 5

Substituindo esse resultado e organizando os coeficientes, chegamos a:
integral xraizx+1,dx = 23x(x+1)^3/2 - 23cdot25(x+1)^5/2 + C
Simplificando o produto dos coeficientes, obtemos a antiderivada desejada.

Resposta

23x(x+1)^3/2 - 415(x+1)^5/2 + C

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