Resolva:
2 y y^{\prime \prime}=1+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
2\,y\,y'' \;=\; 1 + \bigl(y'\bigr)^{2},
onde y=y(x), y'=\frac{dy}{dx} e y''=\frac{d^2y}{dx^2}.
O conteúdo envolve redução de ordem: definimos p(y)=\frac{dy}{dx} e usamos a regra da cadeia para transformar em uma equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Colocando p=\frac{dy}{dx} temos
y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo em
2\,y\,y''=1+p^2
vem
2\,y\,p\,\frac{dp}{dy}=1+p^2.
Separamos variáveis:
\frac{p}{1+p^2}\,dp=\frac{1}{2y}\,dy.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{p}{1+p^2}\,dp \;=\; \int \frac{1}{2y}\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac12\ln\bigl(1+p^2\bigr) = \frac12\ln|y|+C_1.
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
1+p^2 = K\,y,
com K=e^{2C_1} constante arbitrária.

Passo 4

Agora y' = p = \pm\sqrt{K\,y-1}. Separamos de novo:
\frac{dy}{\sqrt{K\,y-1}} = \pm\,dx.
Fazendo a substituição u=K\,y-1, du=K\,dy,
\int \frac{dy}{\sqrt{K\,y-1}} = \int \frac{du}{K\sqrt{u}} = \frac{2}{K}\sqrt{u} = \frac{2}{K}\sqrt{K\,y-1}.
Logo
\frac{2}{K}\sqrt{K\,y-1}=\pm x + C_2.

Passo 5

Multiplicando por K/2 e elevando ao quadrado:
\sqrt{K\,y-1}=\frac{K}{2}(\pm x + C_2) \quad\Longrightarrow\quad K\,y-1=\frac{K^2}{4}x^2+K\,C_2\frac{\pm K}{2}x+\frac{K^2}{4}C_2^2.
Reagrupando e renomeando constantes para ter dois parâmetros livres:
y = A\,x^2 + B\,x + \frac{B^2+1}{4A},
onde A\neq0 e B são as duas constantes de integração independentes.

Resposta

A solução geral é
y(x) = A\,x^2 + B\,x + \frac{B^2+1}{4A},
com A e B constantes arbitrárias.

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