Resolva:
x y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
x\,y'''(x) + y'(x) = 0,
que é uma equação linear e homogênea em y. Vamos diminuir a ordem por integração sucessiva até chegar a uma equação de segunda ordem para y, depois resolver essa última em termos de funções de Bessel.

Passo 2

Integramos a equação original em relação a x. Como
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y''\bigr) = x\,y''' + y'',
podemos escrever
x\,y''' + y' = \frac{d}{dx}\bigl(x\,y''\bigr) - y'' + y' = 0.
Reagrupando e integrando, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y''\bigr) + \bigl(y' - y''\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(x\,y''\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(y'\bigr)+y=0 \;\Longrightarrow\; x\,y'' - y' + y = C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Agora temos a EDO de segunda ordem não-homogênea
x\,y'' - y' + y = C_{1}.
Dividindo por x,
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x}y = \frac{C_{1}}{x}.
A equação homogênea associada é
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x}y = 0.
Fazendo a mudança u(x)=y'(x), ela vira
u'' + \frac{1}{x}\,u = 0,
que é o tipo de equação que tem como soluções fundamentais
u_{1}(x)=\sqrt{x}\,J_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr), \quad u_{2}(x)=\sqrt{x}\,Y_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr),
onde J_{1},Y_{1} são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, ordem 1.

Passo 4

Voltando a y, integramos
y'(x)=u(x)=A\,\sqrt{x}\,J_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr) +B\,\sqrt{x}\,Y_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)
para obter
y(x) = C_{2} +A\int \sqrt{x}\,J_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)\,dx +B\int \sqrt{x}\,Y_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Usando as fórmulas de primitivas de Bessel
\int \sqrt{x}\,J_{1}(2\sqrt{x})\,dx = x\,J_{1}(2\sqrt{x})-\sqrt{x}\,J_{0}(2\sqrt{x}), \quad \int \sqrt{x}\,Y_{1}(2\sqrt{x})\,dx = x\,Y_{1}(2\sqrt{x})-\sqrt{x}\,Y_{0}(2\sqrt{x}),
chegamos à solução geral

Resposta

\boxed{ y(x) = C_{2} + A\Bigl[x\,J_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)-\sqrt{x}\,J_{0}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)\Bigr] + B\Bigl[x\,Y_{1}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)-\sqrt{x}\,Y_{0}\bigl(2\sqrt{x}\bigr)\Bigr], }
onde A,B,C_{2} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados