Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações importantes que temos: a derivada
é
, a expressão envolve divisão por
(logo
no domínio), e não foi dada condição inicial — então buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Identificar o que podemos fazer com a equação dada (sem usar nomes complicados ainda): a equação relaciona uma função de
(isto é,
) com uma função de
(isto é,
). Isso sugere que podemos separar as variáveis
e
para integrar cada lado por conta própria. Vou colocar a derivada como fração para separar:
Agora multiplico ambos os lados por
e divido ambos por
(assumindo
, o que é sempre verdade porque
):
Pronto: as
s ficaram do lado esquerdo e as
s do lado direito — estamos prontos para integrar.
Passo 3
Integrar ambos os lados. Vou explicar cada integral: a integral de
em relação a
é a função arco-tangente
, porque a derivada de
é
. A integral de
em relação a
é
. Assim:
leva a
onde
é uma constante arbitrária de integração (obtida pela diferença entre as constantes de cada lado).
Explicando rapidinho por quê: se
então
. E se
então
. Essas são integrais padrão.
Passo 4
Agora isolamos
. A equação obtida é
Aplicamos a função tangente em ambos os membros (a tangente é a inversa da arco-tangente onde a arco-tangente é definida), obtendo
Aqui
continua sendo a constante arbitrária (pode ser qualquer número real) e absorve qualquer deslocamento constante dentro da tangente. Lembre que
por causa do logaritmo e da equação original.
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): tome
. Diferenciando usando a regra da cadeia, a derivada da tangente é
do argumento vezes a derivada do argumento:
Como
, temos
Mas
, então substituindo
obtemos
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.
Passo 6
Observações finais e dicas para a prova:
- Sempre que você ver uma EDO na forma
tente separar variáveis: coloque todas as partes com e num lado e as com e no outro. - Lembre das integrais padrão:
e . - Não esqueça do domínio: aqui
por causa de e da divisão por . - Um exemplo simples para fixar: se
então ; para temos .