Resolva:
y^{\prime}=\frac{y^{2}+1}{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}+1}{x}
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informações importantes que temos: a derivada y' é \dfrac{dy}{dx}, a expressão envolve divisão por x (logo x\neq0 no domínio), e não foi dada condição inicial — então buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Identificar o que podemos fazer com a equação dada (sem usar nomes complicados ainda): a equação relaciona uma função de y (isto é, y^{2}+1) com uma função de x (isto é, 1/x). Isso sugere que podemos separar as variáveis x e y para integrar cada lado por conta própria. Vou colocar a derivada como fração para separar:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}+1}{x}.
Agora multiplico ambos os lados por dx e divido ambos por y^{2}+1 (assumindo y^{2}+1\neq0, o que é sempre verdade porque y^{2}+1\ge1):
\frac{dy}{y^{2}+1}=\frac{dx}{x}.
Pronto: as ys ficaram do lado esquerdo e as xs do lado direito — estamos prontos para integrar.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Vou explicar cada integral: a integral de \dfrac{1}{y^{2}+1} em relação a y é a função arco-tangente \arctan(y), porque a derivada de \arctan(y) é \dfrac{1}{1+y^{2}}. A integral de \dfrac{1}{x} em relação a x é \ln|x|. Assim:
\int \frac{dy}{y^{2}+1}=\int \frac{dx}{x}
leva a
\arctan(y)=\ln|x|+C,
onde C é uma constante arbitrária de integração (obtida pela diferença entre as constantes de cada lado).
Explicando rapidinho por quê: se F'(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}} então F(y)=\arctan(y). E se G'(x)=\dfrac{1}{x} então G(x)=\ln|x|. Essas são integrais padrão.

Passo 4

Agora isolamos y. A equação obtida é
\arctan(y)=\ln|x|+C.
Aplicamos a função tangente em ambos os membros (a tangente é a inversa da arco-tangente onde a arco-tangente é definida), obtendo
y=\tan\big(\ln|x|+C\big).
Aqui C continua sendo a constante arbitrária (pode ser qualquer número real) e absorve qualquer deslocamento constante dentro da tangente. Lembre que x\neq0 por causa do logaritmo e da equação original.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): tome y(x)=\tan\big(\ln|x|+C\big). Diferenciando usando a regra da cadeia, a derivada da tangente é \operatorname{sec}^{2} do argumento vezes a derivada do argumento:
y'=\operatorname{sec}^{2}\big(\ln|x|+C\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln|x|+C\big).
Como \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}, temos
y'=\operatorname{sec}^{2}\big(\ln|x|+C\big)\cdot\frac{1}{x}.
Mas \operatorname{sec}^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta), então substituindo \theta=\ln|x|+C obtemos
y'=\frac{1+\tan^{2}\big(\ln|x|+C\big)}{x}=\frac{1+y^{2}}{x},
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova:
  • Sempre que você ver uma EDO na forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(y)}{g(x)} tente separar variáveis: coloque todas as partes com y e dy num lado e as com x e dx no outro.
  • Lembre das integrais padrão: \displaystyle\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)+C e \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
  • Não esqueça do domínio: aqui x\neq0 por causa de \ln|x| e da divisão por x.
  • Um exemplo simples para fixar: se C=0 então y(x)=\tan(\ln|x|); para x=1 temos y(1)=\tan(0)=0.

Resposta

y(x)=\tan\big(\ln|x|+C\big),\quad x\neq0,\;C\in\mathbb{R}

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