Resolva:
y^{\prime}=\frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{y}{x}.
Informações dadas e o que se busca:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é \,y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito contém \dfrac{y}{x}, portanto existe uma operação de divisão por x (isso sugere que x=0 é um ponto singular da equação).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (todas as funções y que satisfazem a equação).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação amigável):
  • A equação está na forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}. Repare que é possível “separar” os termos que dependem de y dos que dependem de x: podemos escrever uma igualdade do tipo (função de y),dy = (função de x),dx. Isso facilita porque aí integrarmos cada lado em relação à sua variável.
  • Vou usar o método de separação de variáveis porque é o caminho mais direto e elementar aqui. Antes de dividir, preciso observar o caso especial y\equiv 0 (que pode ser solução).

Passo 3

Tratamento do caso y=0 e separação das variáveis:
  • Se y(x)\equiv 0 para todos x, então y'=0 e \dfrac{y}{x}=0, logo y\equiv 0 é de fato uma solução (é a solução trivial).
  • Agora suponha que em algum intervalo y(x) não é identicamente zero, então podemos dividir por y nos pontos onde y\neq 0. A equação dá:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Multiplicando ambos os lados por dx,
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Integração dos dois lados (aula rápida sobre as integrais usadas):
  • Vamos integrar ambos os lados. Lembre que \displaystyle\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. O valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/u é \ln|u|.
  • Integrando:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x}\,dx
leva a
\ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (uma constante real).

Passo 5

Isolando y e discutindo constantes e domínio:
  • Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{C}\,|x|.
  • Escrevendo e^{C}=K>0, obtemos |y|=K|x|, isto é y=\pm K|x|.
  • Podemos absorver o sinal \pm e o K em uma única constante real C (que pode ser qualquer número real, incluindo 0). Assim a forma mais simples e usual da solução é
y=Cx,
com C\in\mathbb{R}.
  • Observações sobre domínio: durante a dedução usamos divisão por x e por y, portanto a dedução vale em intervalos onde x\neq 0. A solução geral é y=Cx com C\in\mathbb{R}. O caso C=0 corresponde à solução trivial y\equiv 0, que está definida também em x=0; para C\neq 0 a expressão y=Cx faz sentido em todo \mathbb{R} incluindo x=0, mas lembrar que a equação original tinha \dfrac{y}{x}, então ao aplicar a equação ponto a ponto devemos ter cuidado em x=0 (a derivada em 0 deve ser analisada separadamente). Em resumo, a família y=Cx é a solução geral clássica.

Resposta

y=Cx, com C\in\mathbb{R} (inclui y\equiv 0).

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