Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se busca:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - O lado direito contém
, portanto existe uma operação de divisão por (isso sugere que é um ponto singular da equação). - O objetivo é encontrar a solução geral
(todas as funções que satisfazem a equação).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação amigável):
- A equação está na forma
. Repare que é possível “separar” os termos que dependem de dos que dependem de : podemos escrever uma igualdade do tipo (função de ),dy = (função de ),dx. Isso facilita porque aí integrarmos cada lado em relação à sua variável. - Vou usar o método de separação de variáveis porque é o caminho mais direto e elementar aqui. Antes de dividir, preciso observar o caso especial
(que pode ser solução).
Passo 3
Tratamento do caso
e separação das variáveis:
- Se
para todos , então e , logo é de fato uma solução (é a solução trivial). - Agora suponha que em algum intervalo
não é identicamente zero, então podemos dividir por nos pontos onde . A equação dá:
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 4
Integração dos dois lados (aula rápida sobre as integrais usadas):
- Vamos integrar ambos os lados. Lembre que
. O valor absoluto aparece porque a primitiva de é . - Integrando:
leva a
onde
é a constante de integração (uma constante real).
Passo 5
Isolando
e discutindo constantes e domínio:
- Exponenciando ambos os lados:
- Escrevendo
, obtemos , isto é . - Podemos absorver o sinal
e o em uma única constante real (que pode ser qualquer número real, incluindo ). Assim a forma mais simples e usual da solução é
com
.
- Observações sobre domínio: durante a dedução usamos divisão por
e por , portanto a dedução vale em intervalos onde . A solução geral é com . O caso corresponde à solução trivial , que está definida também em ; para a expressão faz sentido em todo incluindo , mas lembrar que a equação original tinha , então ao aplicar a equação ponto a ponto devemos ter cuidado em (a derivada em deve ser analisada separadamente). Em resumo, a família é a solução geral clássica.