Resolva:
y^{\prime}=3 y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = 3y.
Informações dadas:
\text{a incógnita é a função }y(x),\quad y'(x)=\frac{dy}{dx}\text{ é a derivada de }y\text{ em relação a }x,óéçãéçã
e a relação entre a derivada e a própria função é \displaystyle \frac{dy}{dx}=3y.
Não foi fornecida nenhuma condição inicial, então devemos achar a solução geral (com constante arbitrária). Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Interpretação da equação e estratégia: escrever a equação em notação de derivada explícita para ver melhor a estrutura:
\frac{dy}{dx}=3y.
Uma estratégia simples e direta para equações do tipo \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y) é o método de separação de variáveis: separar os termos que dependem de y dos que dependem de x e integrar. Aqui f(x)=3 e g(y)=y, então a separação é aplicável. Antes de dividir, considere também a possibilidade da solução trivial y\equiv 0.

Passo 3

Tratar a solução trivial: se \,y(x)=0 para todo x, então \,y'(x)=0 e 3y(x)=0, logo \,y\equiv 0 satisfaz a equação. Essa solução será contemplada mais adiante pela constante zero na solução geral.
Agora suponha y(x)\neq 0 em algum intervalo e proceda à separação:
\frac{dy}{dx}=3y \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = 3\,dx.
Aqui dividimos por y (válido quando y\neq0) para separar as variáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados: integramos em relação às suas variáveis correspondentes.
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx.
Usamos a regra básica de integração \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C e \displaystyle \int 3\,dx = 3x + C. Ao integrar equações, podemos juntar as constantes numa única constante arbitrária. Assim obtemos
\ln|y| = 3x + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Isolar y exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{3x + C} = e^{C} e^{3x}.
Chame A=e^{C}, que é uma constante positiva ( A>0). Assim |y|=A e^{3x}, o que dá y = \pm A e^{3x}. Podemos unir os dois sinais num único parâmetro constante real C_1, permitindo que C_1 seja qualquer número real (positivos, negativos ou zero). Logo a solução geral é
y(x)=C_1 e^{3x},
onde C_1\in\mathbb{R}. Observe que C_1=0 recupera a solução trivial y\equiv 0.

Passo 6

Verificação rápida: derivamos a solução geral para checar:
\frac{d}{dx}\bigl(C_1 e^{3x}\bigr)=C_1\cdot 3 e^{3x}=3\bigl(C_1 e^{3x}\bigr),
ou seja \,y'=3y, portanto a solução está correta.

Passo 7

Comentário prático (ajuda para prova): se você tiver uma condição inicial, por exemplo y(x_0)=y_0, basta substituir na solução geral para achar a constante:
y_0 = C_1 e^{3x_0}\quad\Longrightarrow\quad C_1 = y_0 e^{-3x_0}.
Exemplo: se y(0)=2, então C_1=2 e y(x)=2e^{3x}.

Resposta

\displaystyle y(x)=C e^{3x},\; C\in\mathbb{R}

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