Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
e a relação entre a derivada e a própria função é
.
Não foi fornecida nenhuma condição inicial, então devemos achar a solução geral (com constante arbitrária). Não há outras informações no enunciado.
Não foi fornecida nenhuma condição inicial, então devemos achar a solução geral (com constante arbitrária). Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Interpretação da equação e estratégia: escrever a equação em notação de derivada explícita para ver melhor a estrutura:
Uma estratégia simples e direta para equações do tipo
é o método de separação de variáveis: separar os termos que dependem de
dos que dependem de
e integrar. Aqui
e
, então a separação é aplicável. Antes de dividir, considere também a possibilidade da solução trivial
.
Passo 3
Tratar a solução trivial: se
para todo
, então
e
, logo
satisfaz a equação. Essa solução será contemplada mais adiante pela constante zero na solução geral.
Agora suponha
em algum intervalo e proceda à separação:
Aqui dividimos por
(válido quando
) para separar as variáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados: integramos em relação às suas variáveis correspondentes.
Usamos a regra básica de integração
e
. Ao integrar equações, podemos juntar as constantes numa única constante arbitrária. Assim obtemos
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Isolar
exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Chame
, que é uma constante positiva (
). Assim
, o que dá
. Podemos unir os dois sinais num único parâmetro constante real
, permitindo que
seja qualquer número real (positivos, negativos ou zero). Logo a solução geral é
onde
. Observe que
recupera a solução trivial
.
Passo 6
Verificação rápida: derivamos a solução geral para checar:
ou seja
, portanto a solução está correta.
Passo 7
Comentário prático (ajuda para prova): se você tiver uma condição inicial, por exemplo
, basta substituir na solução geral para achar a constante:
Exemplo: se
, então
e
.