Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
Conteúdo: EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Montar a equação característica.
- Encontrar as raízes (reais e/ou complexas).
- Montar a solução geral a partir dessas raízes.
Passo 2
Teoria rápida: para EDO linear homogênea com coeficientes constantes
a gente supõe
. Substituindo, sobra
que é a equação característica.
No nosso caso,
Passo 3
Vamos achar uma raiz real “bonitinha” por teste de raízes racionais (divisores de
).
Testando :
Testando
Então
é raiz.
Passo 4
Agora dividimos o polinômio
por
(pode ser divisão sintética):
Coeficientes: 3, 5, 10, –4, raiz = .
Fazendo a conta sai sobra zero e quociente
Coeficientes: 3, 5, 10, –4, raiz =
Fazendo a conta sai sobra zero e quociente
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
Fórmula de Bhaskara:
Ou seja, duas raízes complexas conjugadas
.
Teoria rapidinha: cada par de raízes complexas
gera na solução o termo
Passo 6
Juntando tudo:
- Raiz real
dá . - Raízes
dão .
Resposta
A solução geral é
onde
são constantes de integração.