Resolva: 3 y^prime prime prime+5 y^prime prime+10 y^prime-4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial
3,y''';+;5,y'';+;10,y';-;4,y;=;0
Conteúdo: EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
O que precisamos:
  1. Montar a equação característica.
  2. Encontrar as raízes (reais e/ou complexas).
  3. Montar a solução geral a partir dessas raízes.

Passo 2

Teoria rápida: para EDO linear homogênea com coeficientes constantes
a3 y'''+a2 y''+a1 y'+a0 y=0
a gente supõe a3 r^3 +a2 r^2 +a1 r +a0 =0,. Substituindo, sobra
3r^3 +5r^2 +10r -4 =0
que é a equação característica.
No nosso caso,

Passo 3

Vamos achar uma raiz real “bonitinha” por teste de raízes racionais (divisores de 3l(tfrac13r)^3 +5l(tfrac13r)^2 +10l(tfrac13r) -4 =3!cdot!tfrac127+5!cdot!tfrac19+10!cdot!tfrac13-4 =tfrac19+tfrac59+tfrac103-4 =0 ).
Testando :
Então é raiz.

Passo 4

Agora dividimos o polinômio 3r^2 +6r +12 =0 por (pode ser divisão sintética):
Coeficientes: 3, 5, 10, –4, raiz = .
Fazendo a conta sai sobra zero e quociente

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
3r^2+6r+12=0 Longrightarrow r^2+2r+4=0
Fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 -4cdot1cdot42 = -2 pm raiz-122 = -1 pm iraiz3
Ou seja, duas raízes complexas conjugadas e^alpha xl(C2cos(beta x)+C3sin(beta x)r).
Teoria rapidinha: cada par de raízes complexas gera na solução o termo

Passo 6

Juntando tudo:
  • Raiz real .
  • Raízes dão .

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = C1,e^tfracx3 +e^-xl(C2cos(raiz3,x)+C3sin(raiz3,x)r),
onde são constantes de integração.

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