Resolva y^prime=r y-k y, r>0 e k>0.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem homogênea dada por y'=r y - k y, com r>0 e k>0. O conteúdo aqui é resolução de ODEs lineares de coeficiente constante ou, equivalentemente, separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito, fatoramos y:
y' = (r - k),y
Isso mostra que a equação é do tipo y' = , extconstantetimes y.

Passo 3

Separamos as variáveis para integrar:
dyy = (r - k),dt
Aqui isolamos dy sobre y e dt do outro lado.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral (r - k),dt
O lado esquerdo dá ln|y| e o direito (r - k)t + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Obtemos
ln|y| = (r - k)t + C
e agora exponentiamos:
y = e^(r - k)t + C = C1,e^(r - k)t,
onde definimos C1 = e^C como constante arbitrária não nula.

Resposta

y(t)=C,e^(r-k)t

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