Resolva
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Precisamos resolver
y'' - 4y' + 4y = 3e^{2x}.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem e vamos usar método da equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica associada é
r^2 - 4r + 4 = 0.
Percebemos que (r-2)^2=0, ou seja, raiz dupla r=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' - 4y' + 4y = 3e^{2x}.
Como o termo à direita é e^{2x} e \,e^{2x} já faz parte de y_h com multiplicidade 2, tentamos
y_p = A x^2 e^{2x},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A\bigl(2x + 2x^2\bigr)e^{2x},
y_p'' = A\bigl(2 +8x +4x^2\bigr)e^{2x}.
Substituindo na equação diferencial:
y_p'' - 4y_p' +4y_p = A e^{2x}\bigl[(2+8x+4x^2)-4(2x+2x^2)+4x^2\bigr] = A e^{2x}\bigl[2\bigr] = 2A e^{2x}.
Para igualar a 3e^{2x}, impomos 2A=3, logo
A=\frac{3}{2}.
Assim
y_p = \frac{3}{2}\,x^2e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y = y_h + y_p = C_1e^{2x} + C_2x e^{2x} + \frac{3}{2}x^2e^{2x}.

Resposta

y = C_1e^{2x} + C_2x e^{2x} + \frac{3}{2}x^2e^{2x}.

Exercícios relacionados