Resolva
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=10 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 10e^{2x}.
O método geral envolve duas etapas: primeiro encontramos a solução da parte homogênea (solução complementar) usando equação característica; depois achamos uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h'' - y_h' - 6y_h = 0
e montamos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0.
Calculando as raízes:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
logo r_1 = 3 e r_2 = -2. Portanto a solução complementar é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo fonte é 10e^{2x} e 2 não coincide com as raízes 3 e -2, supomos
y_p(x) = A e^{2x}.
Calculamos derivadas:
y_p' = 2A e^{2x}, \quad y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo em y'' - y' -6y = 10e^{2x}:
4A e^{2x} - 2A e^{2x} - 6A e^{2x} = (4A - 2A - 6A)e^{2x} = -4A e^{2x} = 10e^{2x}.
Logo
-4A = 10 \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{5}{2}.
Portanto
y_p(x) = -\frac{5}{2}e^{2x}.

Passo 4

Pela linearidade, a solução geral é a soma da complementar e da particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} - \frac{5}{2}e^{2x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} - \frac{5}{2}e^{2x}.

Exercícios relacionados