Escrever a fórmula de Taylor de segunda ordem em torno do ponto (0,0) para a função
f(x, y)=x e^{y}

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem, em torno de (0,0), para a função
f(x,y)=x\,e^{y}.
O conteúdo é expansão de Taylor multivariável: precisamos de f(0,0), das derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) e das derivadas parciais de segunda ordem em (0,0).

Passo 2

Calcular f(0,0) e as derivadas de primeira ordem:
f(0,0)=0\cdot e^0=0.
Temos
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe^y\bigr)=e^y, \quad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xe^y\bigr)=x\,e^y.
Logo,
f_x(0,0)=e^0=1, \qquad f_y(0,0)=0\cdot e^0=0.

Passo 3

Calcular as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(e^y)=0, \quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(e^y)=e^y, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x\,e^y)=x\,e^y.
Em (0,0),
f_{xx}(0,0)=0, \quad f_{xy}(0,0)=e^0=1, \quad f_{yy}(0,0)=0\cdot e^0=0.

Passo 4

Escrever o polinômio de Taylor de segunda ordem:
T_2(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y +\frac12\bigl(f_{xx}(0,0)\,x^2+2f_{xy}(0,0)\,xy+f_{yy}(0,0)\,y^2\bigr).
Substituindo os valores:
T_2(x,y)=0+1\cdot x+0\cdot y +\frac12\bigl(0\cdot x^2+2\cdot1\cdot x y+0\cdot y^2\bigr) =x+xy.

Resposta

T_2(x,y)=x+xy.

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