Resolva:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 4y' = 2x^2.
O conteúdo necessário é: primeiro, encontrar a solução geral da equação homogênea associada; segundo, obter uma solução particular da não homogênea por método dos coeficientes a determinar; por fim, somar as duas para ter a solução geral.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y'' - 4y' = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 0,\;4.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{4x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p(x) para o termo 2x^2. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, escolhemos
y_p(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D.
Note que o termo D irá desaparecer ao derivarmos, mas podemos incluí-lo e depois ajustá-lo via absorção em C_1.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p\): \[y_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C, \quad y_p'' = 6Ax + 2B.
Substituindo em y'' - 4y' = 2x^2:
(6Ax + 2B) \;-\;4\bigl(3Ax^2 + 2Bx + C\bigr) = -12A x^2 + (6A -8B)x + (2B -4C) \stackrel{!}{=}2x^2.
Igualando coeficientes de potências de x:
\begin{cases} -12A = 2,\\\\ 6A - 8B = 0,\\\\ 2B - 4C = 0. \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{1}{6},\; B = -\tfrac{1}{8},\; C = -\tfrac{1}{16}.
Podemos escolher D=0\] na particular, pois qualquer constante ficará em \(C_1.

Passo 5

A solução particular fica
y_p(x) = -\tfrac{1}{6}x^3 \;-\;\tfrac{1}{8}x^2 \;-\;\tfrac{1}{16}x.
Assim, a solução geral da equação original é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{4x} -\tfrac{1}{6}x^3 -\tfrac{1}{8}x^2 -\tfrac{1}{16}x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{4x} -\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x.

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